(讲义)2.2 直线与圆的位置关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

2.2　直线与圆的位置关系 1．掌握直线与圆的三种位置关系，并会用代数法和几何法判断．(重点) 2．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． “大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？ 知识点　直线与圆的三种位置关系及判定 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 零个 一个 两个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ 比较d与r的大小 d＞r d＝r d＜r 代数法：由 依据方 程组解 的情况 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同解 判断直线与圆的位置关系有哪些常用方法？ [提示]　代数法和几何法． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． (　　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条． (　　) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． (　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2.直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 B　[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B.] 3.设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　) A．1 B． C． D．2 D　[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.] 类型1　直线与圆的位置关系 【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0时，即－<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2. 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝. (1)当d<2即m>0或m<－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2即－<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． 直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [跟进训练] 1．已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________． 相交　[由直线方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令得 故直线l过定点A(3，1). 由|AC|＝＝＜5得A点在圆内，因此直线l与圆C相交．] 类型2　直线与圆相切问题 [探究问题] 1．怎样判断直线与圆相切？ [提示]　一般采用几何法，即圆心到直线的距离等于半径． 2．当点(x0，y0)在圆外时，过该点的直线与圆相切有几条？当设点斜式只求出一个解时怎么办？ [提示]　有两条．虽设点斜式但要分斜率存在与不存在两种情况，当只求出一个解时，另一条一定是x＝x0. 【例2】　(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为________． (2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． [思路探究]　(1)利用MP⊥l，同时点P在直线l上． (2)先确定点A在圆外，利用d＝r求切线方程． (1)x＋2y－3＝0　[根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0， 即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2，0)， 直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1