(讲义)1.5.2 点到直线的距离-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

1.5.2　点到直线的距离 1.了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点) 2．掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点) 通过对点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离呢？ 知识点1　点到直线的距离 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 图示 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 1.点P(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A． B． C． D．2 A　[d＝＝.] 2.若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________． －4　[由＝，得m＝－4或m＝0， 又∵m<0，∴m＝－4.] 知识点2　两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 图示 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ (1)在运用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？ (2)在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　(1)要求直线的方程应化为一般式． (2)两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等． 3.两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　) A．3 B．2 C．1 D. C　[d＝＝1.] 类型1　点到直线的距离 【例1】　(1)已知点A(a，3)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________． (2)求点P(1，2)到下列直线的距离： ①y＝x－；②y＝4；③x＝－3. (1)　[由点到直线的距离公式得 ＝1，解得a＝±， 又a>0，所以a＝.] (2)[解]　①把方程y＝x－写成3x－4y－5＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝2. ②法一：把方程y＝4写成0·x＋y－4＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝2. 法二：因为直线y＝4平行于x轴， 所以d＝|4－2|＝2. ③因为直线x＝－3平行于y轴， 所以d＝|－3－1|＝4. 点到直线距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后利用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． [跟进训练] 1．求点P0(―1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0. [解]　(1)根据点到直线的距离公式得 d＝＝＝2. (2)直线方程可化为x＋y―2＝0， 所以d＝＝. (3)因为直线y―1＝0平行于x轴，所以d＝|2―1|＝1. 类型2　两条平行线间的距离 【例2】　(1)两条直线l1：3x＋4y－4＝0，l2：6x＋my＋2＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B．5 C．6 D．1 (2)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． (1)D　[∵l1∥l2，∴3×m－6×4＝0，∴m＝8. ∴直线l2的方程为6x＋8y＋2＝0，即3x＋4y＋1＝0. 法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝1. 法二：在l1上取一点M(0，1)，则点M到l2的距离 d＝＝1即为所求．] (2)[解]　当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0，1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5， ∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝， ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． (2)利用两条平行直线间的距离公式求解． [跟进