(讲义)1.4 两条直线的交点-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

1.4　两条直线的交点 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 通过对两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养． 点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0；若P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么点P就是这两条直线的交点． 下面我们就来研究两直线的交点问题． 知识点　直线的交点与直线的方程组解的关系 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交． (　　) (2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交． (　　) (3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线． (　　) (4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1) C　[由得交点坐标为(1，2)，故选C.] 3.当0＜k＜1时，两条直线y＝x＋1，2x－y－k＋2＝0的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[联立两直线方程得它们的交点坐标为，因为0<k<1，所以k－1<0，因此点(k－1，k)在第二象限．] 类型1　两条直线的交点问题 【例1】　判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解]　法一：(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2)方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 法二：(1)∵kl1＝2，kl2＝－，kl1≠kl2， ∴l1与l2相交， 由得 故l1与l2的交点为(3，－1). (2)由＝＝，知l1与l2重合． (3)l2方程为2x＋y－3＝0， 由＝≠知两直线l1与l2平行． 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [跟进训练] 1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．k＞－　 B．k＜2 C．－＜k＜2 D．k＜－或k＞2 C　[法一：由题意知，直线l1过定点P(－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)、B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2.故选C. 法二：由直线l1，l2有交点，得k≠－2. 由 得 又交点在第一象限内， 所以 解得－＜k＜2.] 类型2　直线恒过定点问题 【例2】　求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． [证明]　法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0， 令m＝0，得x－3y－11＝0； 令m＝1，得x＋4y＋10＝0. 解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3). 将点(2，－3)代入直线，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0. 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 法二：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0. 由于m取值的任意性，有 解得 所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线求出交点坐标，然后验证该交点就是题目中含参数直线所过的定点． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直