(讲义)1.3 两条直线的平行与垂直-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

1.3　两条直线的平行与垂直 1．理解并掌握两条直线平行与重合的条件．(重点) 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．(重点) 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．(重点、难点) 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养． 有一天，著名魔术大师拿了一块长、宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米、长21分米的矩形．地毯匠对魔术师说：“这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．”魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧．”地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米、长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？ (1)　　　　　　　(2) 为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直． 知识点1　两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ [提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． 1.直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的位置关系是________． 平行或重合　[直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的斜率都为－3，在y轴上的截距分别为a，0.若a＝0，则两直线重合；若a≠0，则两直线平行．] 知识点2　两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行． (　　) (2)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直． (　　) (3)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 3.下列直线中，与直线l：y＝3x＋1垂直的是(　　) A．y＝－3x＋1 B．y＝3x－1 C．y＝x－1 D．y＝－x－1 D　[因为直线l：y＝3x＋1的斜率为3，则与直线l垂直的直线的斜率为－.] 类型1　两直线平行或垂直的判定 【例1】　判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直： (1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0； (2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0； (3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (4)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40). [解]　(1)因为3×(－8)－(－4)×6＝0，而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2. (2)因为3×4－2×6＝0，而3×(－2)－(－1)×6＝0，所以l1，l2重合． (3)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2. (4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴，故l1⊥l2. 1．判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则⇒l1∥l2. ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2⇒l1∥l2. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行． 2. 判断两直线垂直的方法 (1) (2)若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. [跟进训练] 1．判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直： (1)l1：4x＋2y－1＝0，l2：2x－y－2＝0. (2)l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0； (3)l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0. [解]　(1)因为4×(－1)－2×2≠0，所以l1，l2相交． (2)l2：3y－2x＋4＝0，可变形为2x－3y－4＝0， 所以2×(－3)－2×(－3)＝0， 又2×(－4)－4×2≠0，所以l1∥l2. (3)由题意知