(讲义)1.2.2 直线的两点式方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

1.2.2　直线的两点式方程 1．掌握直线方程两点式、截距式的形式、特点及适用范围．(重点) 2．会用中点坐标公式求两点的中点坐标． 1．通过对直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养． 2．通过对直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养． 某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交会于A，B两处，并使商业中心O到A，B两处的距离之和最短． 在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？ 知识点　直线的两点式和截距式方程 名称 两点式方程 截距式方程 已知条件 直线l过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0 示意图 直线方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为零 斜率存在且不为零，不过原点 方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？ [提示]　不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示． (　　) (2)任何直线都可以用方程＋＝1表示． (　　) (3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2.过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0　　　 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 D　[由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.] 3.直线y＝3x＋2在x轴上的截距是________． －　[令y＝0得x＝－，即在x轴上的截距为－.] 类型1　直线的两点式方程 【例1】　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________． (1)x＝2　(2)－2　[(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2. (2)由直线方程的两点式得 ＝，即＝. 所以直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， 因为点P(3，m)在直线AB上，所以m＋1＝－3＋2，得m＝－2.] 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标． (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程． [跟进训练] 1．求经过两点A(2，m)和B(n，3)的直线方程． [解]　当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3， 当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2. 当m≠3且n≠2时，由两点式得 直线方程为＝. 类型2　直线的截距式方程 【例2】　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． 若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？ [提示]　选择截距式较好． [解]　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. [母题探究] 1．(变条件)本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程． [解]　当截距均为零时，设直线方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－，所求的直线方程为y＝－x，即3x＋4y＝0. 当截距均不为零且相反时，可设直线方程为＋＝1，把点(4，－3)代入得＋＝1，解得a＝7，所求直线方程为＋＝1，即x－y－7＝0， 故所求l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 2．(变条件)本例中把“相等”改为“绝对值相等”呢？ [解]　当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括： ①两截距均为零，即3x＋4y＝0. ②两截距均不为零且相等即x＋y－1＝0. ③两截距均不为零且相反即x－y－7＝0. 故所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 利用截距式求直线方程的注意事项 (1)用截距式求直线方程