(讲义)1.1 直线的斜率与倾斜角-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

1.1　直线的斜率与倾斜角 1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 1．借助对倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养． 2．通过对斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养． 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？ 知识点1　直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2). (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率． k＝(x1≠x2). (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． (3)对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作k＝＝＝. 1.已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是________． 　[由斜率公式可得＝1，解得m＝.] 知识点2　直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角 规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0 范围 {α|0≤α＜π} 作用 表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度 1.任意一条直线都有倾斜角吗？不同直线的倾斜角一定不相同吗？ [提示]　由倾斜角的定义可以知道，任意一条直线都有倾斜角；不同直线的倾斜角可能相同，如平行直线的倾斜角都是相同的． 知识点3　直线的倾斜角与斜率的关系 (1)当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为，斜率不存在； (2)当直线l与x轴不垂直时，直线l的斜率与倾斜角α之间的关系为k＝tan α＝. 2.所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示]　不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°. 2.已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　) A．0°　　　 B．45°　　 C．60°　　　 D．90° A　[∵k＝＝0，∴θ ＝0°.] 3.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　) A． B． C．1 D． A　[由题意可知，k＝tan 30°＝.] 4.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应． (　　) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等． (　　) (4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 类型1　直线的倾斜角 【例1】　求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　(2)　　　　　(3) [解]　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°， ∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°. ①　　　　　②　　　　　③ 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [跟进训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.] 类型2　直线的斜率 【例2】　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1　 　　 B．5 C．－1　 　　 D．－5 (2)若A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)三点共线，则a的值为______． (3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． (1)D　(2)4　[(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°， ∴＝tan 135°＝－1，解得y＝－5. (2)由斜率公式