(讲义)第7章 三角函数 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

类型1　任意角的三角函数概念 任意角和弧度制是三角函数的基础，是后续学习的重要保障．在高考中主要涉及三角函数的概念，常以选择题和填空题的形式考查，主要考查学生的数学运算素养．难度为容易题．三角函数线是解决三角函数问题的有力工具，应用较广，主要利用其判断三角函数的符号．借助三角函数线求三角函数的定义域以及与三角函数有关的证明问题． 【例1】　(1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________． (2)函数y＝＋的定义域是________． (1)或－　(2) [(1)r＝OP＝＝5|m|． 当m>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，∴2sin α＋cos α＝． 当m<0时，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，∴2sin α＋cos α＝－． 故2sin α＋cos α的值是或－． (2)由得 如图，结合三角函数线知： 解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴函数的定义域为 ．] 类型2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式． 常与方程、函数相结合命题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主． 【例2】　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求： (1)＋； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值． [解]　由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝． (1)原式＝＋＝＋＝－＝sin θ＋cos θ＝． (2)由sin θ＋cos θ＝，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝，把sin θcos θ＝代入得1＋2×＝1＋，∴m＝． (3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0， 得两根为和． ∴或 ∵θ∈(0,2π)，∴θ＝或． 类型3　三角函数的图象与性质 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．主要考查学生的数学运算，数据分析逻辑推理素养．考查难度以中低档为主．具体要求： (1)用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π． (2)对于y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别． (3)已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法． 【例3】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1的周期为π，f ＝＋1，且f(x)的最大值为3． (1)写出f(x)的表达式； (2)写出函数f(x)的对称中心、对称轴方程及单调区间； (3)求f(x)在区间上的最大值和最小值． [解]　(1)∵T＝π， ∴ω＝＝2． ∵f(x)的最大值为3， ∴A＝2． ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1． ∵f ＝＋1， ∴2sin＋1＝＋1， ∴cos φ＝． ∵0<φ<， ∴φ＝． ∴f(x)＝2sin＋1． (2)由f(x)＝2sin＋1， 令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)， ∴对称中心为(k∈Z)． 由2x＋＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)， ∴对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的增区间为(k∈Z)． 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的减区间为(k∈Z)． (3)当0≤x≤时，≤2x＋≤， ∴－≤sin≤1， ∴f(x)在上的最大值为3，最小值为0． 类型4　数形结合思想 数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．以中低档题目为主考查． 本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法． 【例4】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R在一个周期内的简图如图所示，求函数y＝f(x)与y＝lg x图象的交点个数． [解]　显然A＝2． 由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sin φ＝， 又|φ|＜，则φ＝． 又是图象上的点，则f＝0， 即s