(讲义)第2章 常用逻辑用语 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

类型1　充分条件与必要条件的判断 充分条件、必要条件是高考对逻辑部分的主要考查点，有些题目比较简单，直接根据定义即可判断．有些题目与不等式集合等内容结合可借助数轴转化为集合间的关系解决．采用数形结合的方法，可使问题直观化、形象化． 【例1】　(1)设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件． (1)A　(2)充要　[(1)当1＜x＜2时，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p⇒q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以qp． (2)当a＝0时，二次函数y＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，关于y 轴对称；二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的对称轴为x＝－，其关于y 轴对称，则－＝0，解得a＝0． 综上可知，“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的充要条件．] 类型2　充分、必要、充要条件的应用 充分、必要及充要条件的应用主要体现在以下两类．一类是已知两个命题的关系求参数的取值范围，另一类是与充要条件相关的证明题．这部分内容也是考查的重点，常用不等式集合、方程交汇命题．对于第一类问题常转化为集合间的关系求解，但要注意端点值能否取到，对于证明题要从充分性和必要性两方面说明． 【例2】　已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． [解]　(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 所以A⊆B，又A≠∅， 则 解得－1≤a≤1， 所以a∈[－1,1]． (2)若存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件，即A＝B，则必有 即 则方程组无解． 故不存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件． 类型3　全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题和存在量词命题主要包括这两类命题的判定与否定．对于判定类的题目可直接根据定义判断，对于否定类的要否定量词和结论．本知识点常用方程的解、不等式、集合等交汇命题，难度为基础题，主要考查逻辑推理能力和综合应用能力． 【例3】　(1)下列语句不是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．存在一个四边形不是平行四边形 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数 (2)判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． ①凸多边形的外角和等于360°； ②矩形的对角线不相等； ③若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； ⑤方程3x－2y＝10有整数解． (1)C　[因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．] (2)[解]　①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． ②可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． ③若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． ④含存在量词“有些”，故为存在量词命题． ⑤可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$