(讲义)4.2.1 对数的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

4.2　对数 4.2.1　对数的概念 1．理解对数的概念．(重点) 2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点) 3．掌握常用对数与自然对数的定义． 通过学习本节内容，培养逻辑推理和数学运算的核心素养． 若某物质最初的质量为1，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，则经过x年，该物质的剩留量y＝0.84x．由此，知道了经过的时间x，就能求出该物质的剩留量y；反过来，知道了该物质的剩留量y，怎样求出所经过的时间x呢？ 知识点1　对数 名称 定义 记法 对数 一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，a叫作对数的底数，N叫作真数 logaN＝b 常用对数 通常将以10为底的对数称为常用对数 lg N 自然对数 以e为底的对数称为自然对数，其中e＝2.718 28…是一个无理数 ln N 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN中a的取值范围为(0，＋∞)． (　　) (2)(－2)4＝16可化为log(－2)16＝4． (　　) (3)对数运算的实质是求幂指数． (　　) (4)在b＝log3(x－2)中，实数x的取值范围是(2，＋∞)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 知识点2　对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0且a≠1)． (4)loga＝－1(a>0且a≠1)． (5)对数恒等式：a＝N(a>0，a≠1，N>0)． 为什么负数和零没有对数？ [提示]　由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况． 2．(1)log33＋log31＝________； (2)已知log2＝0，则x＝________． (1)1　(2)2　[(1)log33＋log31＝1＋0＝1． (2)由题意知＝1，所以x＝2．] 类型1　指数式与对数式的互化 【例1】　将下列指数式与对数式互化． (1)2－7＝； (2)log32＝－5； (3)lg 100＝2； (4)ln x＝5； (5)64＝． [解]　(1)由2－7＝，可得log2＝－7． (2)由log32＝－5，可得＝32． (3)由lg 100＝2，可得102＝100． (4)由ln x＝5，可得e5＝x． (5)由64＝，可得log64＝－． 数式与对数式互化的方法 1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式. 2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 1．将下列指数式与对数式互化： (1)53＝125；3－2＝；＝16； (2)log8＝－3；lg 0.000 1＝－4． [解]　(1)因为53＝125，所以log5125＝3． 因为3－2＝，所以log3＝－2． 因为＝16，所以log16＝－2． (2)因为log8＝－3，所以＝8； 因为lg 0.000 1＝－4，所以10－4＝0.000 1． 类型2　利用指数与对数的互化求变量的值 【例2】　求下列各式中x的值． (1)lg 0.01＝x； (2)log7(x＋2)＝2； (3)log＝x； (4)x＝log32． [解]　(1)因为lg 0.01＝x，所以10x＝0.01＝10－2，所以x＝－2． (2)因为log7(x＋2)＝2，所以x＋2＝72，解得x＝47． (3)因为＝，所以log＝－2，所以x＝－2． (4)由x＝log32可得＝32，即2－x＝25，解得x＝－5． 利用指数与对数的互化求变量值的策略 1已知底数与指数，用指数式求幂. 2已知指数与幂，用指数式求底数. 3已知底数与幂，利用对数式表示指数. 2．求下列各式中x的值： (1)log64x＝－； (2)logx8＝6； (3)lg 100＝x； (4)log27x＝－． [解]　(1)x＝64＝＝4－2＝． (2)因为x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝． (3)10x＝100＝102，于是x＝2． (4)因为log27x＝－，所以x＝27＝(33)＝3－2＝． 类型3　利用对数性质及对数恒等式求值 【例3】　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝7． 1．若方程log2x＝0，则x等于多少？若log3x＝1，则x等于多少？ [提示]　若log2x＝0，则x＝1，若log3x＝1，则x＝3． 2．alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)是怎样推出的？ [提示]　因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N得alogaN＝N． [解]　(1)∵