(讲义)2.3 全称量词命题与存在量词命题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

2.3　全称量词命题与存在量词命题 1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义． 2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点) 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点) 1．通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养． “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：‘前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．’” 结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思． 知识点1　全称量词与全称量词命题 (1)“所有”“任意” “每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”． (2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)． 其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句． 知识点2　存在量词与存在量词命题 (1)“存在”“有的” “有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”． (2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M,_p(x)． 其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句． “一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． [提示]　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题． (　　) (2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题． (　　) (3)三角形内角和是180°是存在量词命题． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 知识点3　全称量词命题与存在量词命题的否定 语句p(x)是对语句p(x)的否定． 一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论： “∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，p(x)”； “∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，p(x)”． 2．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是________． [答案]　∃x∈R，sin x>1 知识点4　全称量词命题与存在量词命题的真假的判定 (1)判定全称量词命题为真，需要严格证明，判定全称量词命题为假，列举反例即可． (2)判定存在量词命题为真，只要列举特例，判定存在量词命题为假，需要严格证明． (3)对一个命题进行否定，就得到一个新命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”． 3．下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，x＋2 022<1 D．∃x∈R,2x＞2 B　[当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．] 类型1　全称量词命题和存在量词命题的判断 【例1】　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； (4)有一个角α，使sin α＝． [解]　(1)是全称量词命题．因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题． 判断全称量词命题与存在量词命题的方法 1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”. 2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 1．判断下列命题的真假． (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0． [解]　(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题． (2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0， 所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4