(讲义)1.2 第2课时 全集、补集-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

第2课时　全集、补集 1．了解全集的意义，理解补集的含义．(重点) 2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点) 1．通过补集的运算，培养数学运算素养． 2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养． 某学习小组学生的集合为S＝{甲，乙，丙，丁}，其中在学校应用文写作比赛与数学建模大赛中获得过金奖的学生集合为A＝{甲，乙}，那么没有获奖的学生有哪些？若用集合B表示没有获奖的同学，则集合B与S，集合A、B和S之间有怎样的关系？ 知识点1　补集 (1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”)． (2)符号表示 ∁SA＝{x|x∈S，且xA}． (3)图形表示： (4)补集的性质 ①∁S∅＝S，②∁SS＝∅，③∁S(∁SA)＝A． 知识点2　全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U． 两个不同的集合A、B在同一个全集U中的补集可能相等吗？ [提示]　不可能相等．因为集合A、B是两个不同的集合，所以必定存在元素在集合A的补集中，但不在集合B的补集中． 补集符号∁SA有三层含义： (1)A是S的一个子集，即A⊆S； (2)∁SA表示一个集合，且∁SA⊆S； (3)∁SA是S中所有不属于A的元素构成的集合． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全集一定含有任何元素． (　　) (2)集合∁RA＝∁QA． (　　) (3)一个集合的补集一定含有元素． (　　) (4)研究A在S中的补集时，A可以不是S的子集． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知全集U＝{－1,0,1}，且∁UA＝{0}，则A＝(　　) A．{－1,1}　　　　　　 B．{－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0} A　[∵U＝{－1,0,1}，∁UA＝{0}，∴A＝{－1,1}．] 3．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________． {x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．] 类型1　全集与补集 【例1】　(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________． (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________． (1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　[(1)A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．∁UB＝{1,4,6}， ∴B＝{2,3,5,7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．] 常见补集的求解方法 1列举求解.适用于全集U和集合A可以列举的简单集合. 2画数轴求解.适用于全集U和集合A是不等式的解集. 3利用Venn图求解. 1．(1)若全集U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，则∁UA等于(　　) A．{x|0<x<2}　　　　　 B．{x|0≤x<2} C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2} (2)设全集U＝{1,2,6,8,9}，集合A＝{1，|a－6|,9}，∁UA＝{6,8}，则a的值是(　　) A．4 B．8 C．－4或8 D．4或8 (1)C　(2)D　[(1)∵U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}， ∴∁UA＝{x|0<x≤2}，故选C． (2)A＝∁U(∁UA)＝{1,2,9}＝{1，|a－6|,9}， ∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故选D．] 类型2　补集与子集的综合应用 【例2】　已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围． [思路点拨]　首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁UB，然后再利用A⊆∁UB得关于a的不等式求解即可． [解]　若B＝∅，则a＋1>2a－1，所以a<2． 此时∁UB＝R，所以A⊆∁UB； 若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2， 此时∁UB＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}， 由于A⊆∁UB，如图， 则a＋1>5，所以a>4， 所以实数a的取值范围为a<2或a>4． [母题探究] (变条件)若将本例中的“A⊆∁UB”改为“B⊆∁UA”，求实数a的取值范围． [解]　∁UA＝{x|x<－2或x>5}． 因为B⊆∁UA， 当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝∅，B⊆∁UA． 当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠∅． 所以2a－1<－2或a＋1>5， 即a>4， 综上，实数a的取值范围为{a<2或a>4}． 1