(讲义)第1章 预备知识 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

类型1　集合及其数学思想 1．交集思想 许多数学问题是求同时满足若干个条件p1，p2，…，pn的解，如果把满足各条件的对象表示成集合A1，A2，…，An，则Q＝A1∩A2∩…∩An就是问题的解集．如列方程组或不等式组解应用题等，都是运用交集思想方法解题的具体体现． 2．并集思想 有些数学问题需要分若干种情况讨论，若将问题分为n类，每类问题的解集为A1，A2，…，An，则Q＝A1∪A2∪…∪An就是问题的解集． 3．补集思想 “正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时，我们可以从其反面入手解决．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A． 【例1】　(1)已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} (2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，则实数k的取值范围是_______． (3)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是_______． (1)D　(2)－1≤k≤1　(3){m|m≤－1}　[(1)∵A∪B＝{1，2，3}，∴∁U(A∪B)＝{4}． (2)由A∪B＝A，得A⊇B，又B≠∅，则，解得－1≤k≤1． (3)设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝． 若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负， 则解得m≥， ∵在U中的补集为{m|m≤－1}． ∴实数m的取值范围是{m|m≤－1}．] 类型2　充分条件与必要条件 1．充分条件、必要条件的判断方法 定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假． 集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 2．判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系． 3．利用充要条件可进行命题之间的等价转化． 【例2】　(1)若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为_______． (1)A　(2)－1　[(1)若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0，反之，则不一定成立．如a＝0，b＝0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0．故选A． (2)由题意知：{x|x＜a}⊆{x|x＜－1或x＞1}，所以a≤－1．] 类型3　利用基本不等式求最值 使用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等构造定值的方法，和对等号能否成立的验证． 【例3】　(1)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__________． (2)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　) A．1　　B．2　　C．3　　D．4 (1)　(2)D　[(1)∵4x2＋y2＋4xy－3xy＝1， ∴1＝(2x＋y)2－·2xy≥(2x＋y)2－·＝(2x＋y)2， ∴2x＋y≤， 故2x＋y的最大值为． (2)a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝ab＋＋a(a－b)＋≥2＋2＝4． 当且仅当ab＝1， a(a－b)＝1时等号成立． 如取a＝，b＝满足条件．] 类型4　全称量词命题与存在量词命题 与全称量词命题与存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围． 【例4】　(1)命题“至少有一个实数x，使x3＋1＝0”的否定是________； (2)若对任意x∈[1，2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________． (1)对任意x∈R，x3＋1≠0　(2)a≤1　[(1)命题的否定为：对任意x∈R，x3＋1≠0 (2)对任意x∈[1，2]，x2－a≥0， 则a≤(x2)min＝1．] 学科网（北京）股份有限公司 $$