(讲义)第1章 3.1 不等式的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§3　不等式 3.1　不等式的性质 1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．(重点) 2．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点) 1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养． 1．如何比较两个实数的大小？ 2．等式的基本性质有哪些？ 3．不等式的基本性质有哪些？ 知识点1　实数a，b大小比较的基本事实 1．文字叙述 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也成立． 2．符号表示 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 1．(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种吗？ (2)p⇔q的含义是什么？ [提示]　(1)是． (2)p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推． 1．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________． m3>m2－m＋1　[m3－(m2－m＋1) ＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1) ＝(m－1)(m2＋1)． ∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0．] 知识点2　不等式的性质 性质1：如果a>b，且b>c，那么a>c． 性质2：如果a>b，那么a＋c>b＋c． 性质3：(1)如果a>b，c>0，那么ac>bc； (2)如果a>b，c<0，那么ac<bc． 性质4：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d． 性质5：(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； (2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd． 性质6：当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2． 2．(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？ (2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ [提示]　(1)不一致，同向不等式相乘时各项均为正数． (2)不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． 2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b [答案]　C 3．下列命题正确的是(　　) A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．a<b⇒< C．a>b且c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒a2>b2 [答案]　A 4．若a>b>0，n>0，则________．(填“>”“<”或“＝”) [答案]　< 类型1　数式的大小比较 【例1】　(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (2)已知a>0，试比较a与的大小． [解]　(1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)． ∵x<1，∴x－1<0． 又＋>0， ∴(x－1)<0． 即x3－1<2x2－2x． (2)a－＝＝， ∵a>0， ∴当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<． 综上，当a>1时，a>； 当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<． 1．利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． 注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 2．作商法比较大小 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1．方法图示如下： 依据 a>0，b>0 >1⇔a>b； ＝1⇔a＝b； <1⇔a<b a<0，b<0 >1⇔a<b； ＝1⇔a＝b； <1⇔a>b 应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论 [跟进训练] 1．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．] 2．已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小． [解]　由于－(＋)＝＋＝＋＝＝， 再由a，b为正实数可得＋＞0，＞0，(－)2≥0，可得≥0， 所以＋≥＋，当且仅当a＝b时，取等号． 类型2　不等式的性质 【例2】　(1)对于实数x，y，z，下列结论正确的是(　　) A．若x＞y，则xz2＞yz2 B．若y＜z＜0，则＞