第1章 3.1 不等式的性质（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[基础巩固·夯基提能] 1．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小是(　　) A．a＞b＞－b＞－a　　 B．a＞－b＞－a＞b C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b 解析　令a＝5，b＝－2满足a＋b＞0，b＜0， 所以a＞－b＞b＞－a. 答案　C 2．(多选)已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列结论一定成立的是(　　) A．＜ B．＞0 C.＜ D．＜0 解析　因为c＜b＜a，且ac＜0，所以c＜0，a＞0.于是＜，＞0，＜0，但b2与a2的大小关系不确定，故＜不一定成立． 答案　ABD 3．已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab＞bc B．ac＞bc C．ab＞ac D．a|b|＞|b|c 解析　因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，所以ab＞ac. 答案　C 4．若实数a＞b，则a2－ab________(填“＞”或“＜”)ba－b2. 解析　因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a＞b，所以(a－b)2＞0，即a2－ab＞ba－b2. 答案　＞ 5．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的有________． ①若a＞b，c＞b，则a＞c； ②若a＞－b，则c－a＜c＋b； ③若a＞b，c＜d，则＞； ④若a2＞b2，则－a＜－b. 解析　①中，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，③不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；④只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立；②成立． 答案　② 6．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明　证法一　－ ＝ ＝ ＝. ∵a＞b＞0，c＜d＜0， ∴a＋b＞0，c＋d＜0，b－a＜0，c－d＜0. ∴(a＋b)－(c＋d)＞0，(b－a)＋(c－d)＜0. ∵e＜0， ∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]＞0. 又(a－c)2(b－d)2＞0， ∴－＞0，即＞. 证法二　⇒a－c＞b－d＞0⇒(a－c)2＞(b－d)2＞0⇒⇒＞. [关键能力·综合提升] 7．(多选)若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的有(　　) A．＞ B．a＋＞b＋ C．a＋＞b＋ D．＞ 解析　∵a＞b＞0，则－＝＝＜0，∴＞一定不成立．a＋－b－＝(a－b).当ab＞1时，a＋－b－＞0；当ab＝1时，a＋－b－＝0；当0＜ab＜1时，a＋－b－＜0.故a＋＞b＋可能成立．a＋－b－＝(a－b)＞0，故a＋＞b＋恒成立．－＝＜0，故＞一定不成立．故选AD. 答案　AD 8．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和．那么这四名同学中阅读量最大的是(　　) A．甲　　　 B．乙　　　 C．丙　　　 D．丁 解析　设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为x1，x2，x3，x4，则x1≥0，x2≥0，x3≥0，x4≥0. 由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，可得x1＋x3＝x2＋x4，① 由丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和，可得x1＋x2＜x3＋x4，② 由乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和，可得 x2＞x1＋x4，③ ②－①，得 x2－x3＜x3－x2⇒2(x2－x3)＜0⇒x2＜x3， ②＋①，得 2x1＋x2＋x3＜x2＋x3＋2x4⇒x1＜x4， 由③得x2＞x1，x2＞x4，∴x3＞x2＞x4＞x1， 即阅读量最大的是丙．故选C. 答案　C 9．若a＜b＜0，则下面有六个结论：①a2＞b2，②a3＞b3，③＜，④＞1，⑤＞，⑥|a|＞－b中，正确结论的序号是________． 解析　因为a＜b＜0，则－a＞－b＞0，所以(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2，故①正确；由a2＞b2，不等式两边同时乘a时，a3＜b2a，对于a＜b，两边同乘b2，可得b2a＜b3，故a3＜b2a＜b3，即a3＜b3，则②错误； 因为a＜b＜0，所以ab＞0，则＞0，所以a·＜b·，即＜，则③错误；由＜，不等式边同时乘a，得＞＝1，故④正确； 由－＝＝，因为a－b＜0，a＜0，所以(a－b)a＞0，又因为b＜0，所以－＜0，即＜，故⑤错误；由a＜b＜0可得，|a|＞|b|＝－b，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥. 答案　①④⑥ 10．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，能组成哪几个正确的不等式？ 解析　由②可知－＞0，∴＞0，若③式成立，即bc＞ad，则bc－ad＞0，∴ab＞0，故由②③⇒①正确； 由①ab＞0得＞0，不等式bc＞ad两边同乘，得＞，∴＞，故由①③⇒②正确； 由②得－＞0，∴＞0，若①式成立，则bc＞ad，故由①②⇒③正确．综上可知，①③⇒②，①②⇒③，②③⇒①. [核心价值·探索创新] 11．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz 解析　由x＜y＜z，a＜b＜c， 所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0， 故ax＋by＋cz＞az＋by＋cx； 同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz) ＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)＜0， 故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz. 因为az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0， 故az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx. 故最低费用为az＋by＋cx. 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $$