专题27.10 相似章末十大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题27.10 相似章末十大题型总结（拔尖篇） 【人教版】 【题型1 利用平行线分线段成比例进行求值或证明】 1 【题型3 利用相似三角形的判定与结论求长度】 3 【题型4 利用相似三角形的判定与结论求面积】 5 【题型5 利用相似三角形的判定与结论求最值】 6 【题型6 利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】 7 【题型7 利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】 9 【题型8 利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】 10 【题型9 利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】 11 【题型10 利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】 12 【题型1 利用平行线分线段成比例进行求值或证明】 【例1】（2023秋·福建三明·九年级统考期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 【变式1-1】（2023春·山西吕梁·九年级统考期末）如图，矩形中，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为 ．    【变式1-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点P是内的一点，连接，，，，过点P作，，分别交、于点E、F，若，则四边形的面积为 ．    【变式1-3】（2023春·广东·九年级专题练习）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形，，． ①若，于点，求的长； ②若，，求的长； (2)如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长． 【题型2 利用相似三角形的判定与结论在格点中求值】 【例2】（2023·安徽宿州·统考一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点均在格点上，连接相交于点，若小正方形的边长为1，则点到的距离为 ． 【变式2-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，在方格纸中，和的顶点都在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，点、、、、在网格中的格点处，与相交于点，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于 ．    【变式2-3】（2023秋·福建福州·九年级校联考期末）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则 ．    【题型3 利用相似三角形的判定与结论求长度】 【例3】（2023·黑龙江绥化·校考三模）在中，，垂足为，为锐角，且，若，，则边长为 ． 【变式3-1】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，在矩形中，已知，如果将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，如果，那么的长为 ．    【变式3-2】（2023·河南郑州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，把绕点O按顺时针方向旋转，点A，B的对应点分别是，，连接．当点在第二象限内，轴时，点A的对应点的坐标为 ．    【变式3-3】（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）等腰直角与等腰直角的直角顶点重合．与相交于，的延长线交于，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，，，在同一条直线上，取的中点，分别连接，，求证：； (3)如图3，过作的平行线，过作的平行线，两线相交于，且点在的延长线上，若，求的值． 【题型4 利用相似三角形的判定与结论求面积】 【例4】（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·浙江温州·校联考三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．    (1)求和的值； (2)当与中的一个角相等时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点，将点绕点逆时针旋转至点，若点到轴的距离恰好等于的长，求的面积． 【变式4-2】（2023春·上海静安·九年级统考期末）（1）如图1，梯形中，，．求证：四边形是等腰梯形； （2）若点M是直线上的一点，直线交直线于点N． ①当点M在线段的延长线上时（如图2），设，求y关于x的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面