【金科大联考】新未来2023年秋季学期高二年级7月质量检测数学（山西、河南、河北通用）

绝密★启用前 2023年春季学期高二年级7月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合A={xy=x-I},B={y|y=-x+3,x∈A},则A∩B= A.[1,+o) B.[1,2] C.(-∞，2] D.(1,2) 2.已知复数：满足：告，则：在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在(x+是 的展开式中，二项式系数最大的项的系数为 A.20 B.80 C.120 D.160 4.如图，一个圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为2.以圆台的上底面 为底面，挖去一个半球，则剩余部分的体积为 号 B号 C.4π D.3π 5.已知0e(0,受）且n9tcos9sin20.则an0 sin 0 A.√2-1 B.2+1 C.3+1 D.√3-1 6.已知x和y的几组关系如下表： 1 2 3 y a 3 6 其中a十b=6(a>0,b>0),设两组变量的线性相关系数为r.当a从小变大时，r的值 A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.变小 D.变大 【高二数学第1页（共4页）】 7.已知抛物线C:y2=2.x与圆M:(x一3)十y2=8在第一象限交于P(x1,1),Q(x2,y2) (y<y2)两点，设P关于x轴的对称点为P',则直线PQ的斜率为 A.√2 B.√3 C.1 D.2 8.已知随机变量X的可能取值为1,2.Y的可能取值为一1，一2，且P(X=i)=P(Y=一i) (i=1,2),若E(XY=-2,则D(XY)= A号 B号 C.12-6v3 D.18-12√2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知等差数列{am}的首项a1=8,公差为d(且d<0),前n项和为S。,则 A.若d<-4,则Ss<0 B.若aa十a:>0,则S,>0 C若s≥S,(u∈N).则-2<d<-8 D.若d>-1,则存在n∈N·,使得Sm>36 10.已知圆C:(x一3)2+(y-1)2=1与圆M:(x-m)2+(y-2m)2=2(m∈R,r>0)相交于 A,B两点，则 A.圆C的圆心坐标为(3,1) B.当r=2时，1-25<m<1+25 5 C.当MA⊥CA且r=3时，m=2 D.当|AB=2时，r的最小值为v6 1山.已知随机事件A,B的概率分别为P(A).P(B),且P(A)=号，P(B)=2P(BA)十 P(BA)=1,则 A.P(B A)=P(B A) B.事件A与事件B相互独立 CPA+B)=号 D.P(ABB)=合 12.已知a>0,b>0,且61nb十a=,则 e A.a>1 B.a<1 C.b>1 D.b<1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知向量a=(t,1一1)，b=(t,4),若ab,则t= 14.七个人从左到右排成一排，已知A,B两人不排在两端，且A,B两人一定不相邻，则不同的 排法共 种. 15.某人玩一个游戏，游戏规则如下：每次游戏有机会获得10分，20分或50分的积分，且每次 游戏只能获得一种积分.每次游戏获得10分的概率为p(0<p<3）,获得20分的概率为 2p.当该人在三次游戏中累计积分不低于100分且不足150分的概率取最大值时，其一次游 戏所得积分的数学期望为 16,已知椭圆C号+若-1(。>6>0)的左，右焦点分别为F,F,过R,且斜率为正的直线1与 C交于A,B两点，且点A在x轴下方.设△AF,F,△BFF2,△ABF2的内切圆的半径分别 为nn.若椭圆C的离心率为2，且n十=2，则直线l的斜率为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分10分) 如图，在四边形ABCD中，AC=AD=4,∠ACB=∠ACD. (1)若BC=3,CD=2,求AB: (2②)若c0sB=号，求四边形ABCD面积的最大值 18.(本小题满分12分) 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调 查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表： 课余学习时间超过两小时 课余学习时闻间不超过两小时 200名以前 40 x+10 200名以后 3x-10 40 (1)求x的值： (2)依据上表，判断是否有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成 绩有关； (3)学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取 6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为 X,求X的分布列和数学期望 附：参考公式：X= n (ad-bc)? (a+b)(c+d)(a+c)(b+d,其中n=a+b+c+d. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 Ta 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.(本小题满分12分) 已知数列{aw}的各项均为正数，其前n项和为Sma,=2,且S+1=3S%十a+1·S· (1)求数列{S,}的通项公式； (2)求数列出} 前n项和T。 【高二数学第3页（共4页）】 20.(本小题满分12分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AP,AC⊥BC,平面PBC⊥平面ABC,二面角P-AB-C 为45°，已知AB=4V3,AC=2V3. (1)求AP的长； (2)求锐二面角B-AP-C的余弦值. 21.(本小题满分12分) 已知双前线C导-若-1(0>0,6>0)的离心率为汽，左：右顶点分别为A,B,直线 l:y=kx十m与双曲线C分别交于M(x,y),N(x2,y2)两点.当k=0,m=√3时， |MN|=2|AB. (1)求双曲线C的标准方程： (2)设AM.BN的斜率分别为1，，当m=-6k且≠0时，求3-10（国十）和会 的值. 22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=4+1nr十a-2. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有两个零点x,x,且x<x2,曲线y=f(x)在这两个零点处的切线的交点 的横坐标为m,证明：m<a. 【高二数学第4页（共4页）】2023年春季学期高二年级7月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 3 5 6 7 8 答案 B A D C B A C D 题号 10 11 12 答案 ACD ABD ABC BD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.【答案B 【解析】易知A=[1,十o∞)，则B=(一co,2],则A∩B=[1,2].故选B. 2.【答案】A 【解折1锡知告名得书-1生专十受所以：对应的点为（合·号）：在第一象限，放选A 3.【答案D 【解析】由题意可知，二项式系数最大为C=20,对应项为20·(x2)· =160x3,即系数为160.故 选D. 4.【答案C 【解析】易知圆台的体积V=号(4x十x十V4x·云)=1兰，半球的体积V=号x,所以剩余部分的体积V= V1一V2=4x.故选C. 5.【答案】B sin 解析】因为sin)+on20=2 sin cos0,所以n叶cos方20os 所以2sin0cos0+2cos20=1,即sin20+cos20=0, 所以an20=-1=品。解得m0=1+区支m0=1一区（含去.放法以 6.【答案】A 【解析】因为a,b>0,且a十b=6,所以a∈(0,6)，所以r,y呈正相关，即r>0,由散点图可知，当a<2时，a 越大，x,y相关性越强，即r变大，当a>2时，a越大，x,y相关性越弱，即r变小.故选A. 7.【答案】C y2=2.x, 【解析】联立C与M的方程 (x-3)+y=8.消去y整理得r-4r+1=0. 则x十x2=4,1x2=1,所以y1y=2√x2=2, 所以y1十y2=√/听+5+2yy=√2(x1十x)十2yw=25, 易知P'(,-),则kr0=当+y-2(十y)=2 2-x1 yi-yi 一y' 所以krQ= 2 2 =L.故选C. √(+y)-4M√(2√3)-8 8.【答案】D 【解析】设P(X=1)=P(Y=-1)=a,P(X=2)=P(Y=-2)=b,则a十b=1, 易知XY的可能取值为一4，一2，一1， 且P(XY=-1)=a2,P(XY=-2)=2ab,P(Xy=-4)=, 【高二数学参考答案第1页（共6页）】 所以E(XY)=-a2-4ab-42=-(a+2b)=-(1+b)2=-2, 解得b=√2-1，则a=2一√2， 所以D(XY)=(-1+2)2·a2+(-4+2)2·b=a2+4b=18-122.故选D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对 的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.【答案】ACD 【解析】若d<一4，可得S=5(8十2d)<0,即A正确： 若a十a>0,则2a+5d=16+5d>0,即d>-9.取d=-3,则S=7a,=7(8-9)<0,即B错误： 若s≥S.,则a≥0≥a,所以8+4d≥0>8+5d,所以-2≤d≤-号.即C正确： 若4dD-1,则a,=8十8d>0,所以S,=9×8+9X(9-D4>72-36=36,即D正确.故选ACD. 2 10.【答案】ABD 【解析】由圆C的方程可知圆C的圆心坐标为(3,1)，即A正确： 当r=2时，圆M:(x-m)2+(y-2m)2=4,此时易知|MC|≥√5>2-1，所以有MC= Vm-)+(2m-<3,解得1-25<m<1+25.即B正确： 因为MA⊥CA,且r=3,所以|CM2=32+12=10,即(m-3)十(2m-1)2=10,解得m=0或m=2,即C 错误： 因为圆C的直径为2，所以当AB1=2时，AB为圆C的直径，所以r=|MC1+1=(m一3)2+(2m一1) +1=5m2一10m十11=5(m一1)2+6，当且仅当m=1时，rmm=√6，即D正确.故选ABD. 11.【答案】ABC 【解析】因为P(A)=P(AB)十P(AB),且P(B|A)十P(B|A)=1,所以P(B|A)=I一P(B|A)=1 P(AB=P(A)-P(AB)_PCAB2=P(BA),即A正确： P(A) P(A) P(A) 因为P(BA)=P(B).所以0-0=PBA,去分，整理得P(AB) 1-P(A) P(A)·P(B),所以A,B相互独立，即B正确： PA+B)=PA)+P(B)-P(AB)=号+号合×合-号，即C正确： 11 PABB)--PPp》-王-号 1-P(B) 3,即D错误.故选ABC 12.【答案】BD 【解析】因为nb十a=兽，所以1nb什分-号=0，设6)=n6叶号一号 则f(6)=石会-2，令f(6)=0:解得6=a, 易知f(b)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增， 所以f(b)≥f(a)=lna+1-总， 根据熟知不等式e>a,所以当a≥1时，f(b)≥f(a)=lna+1-“=lna+a>0, e 所以∫(b)=0无解，不符题意， 当a<1时.因为f(1)=a-g-0(心-1)>0.所以f(b)>0对任意>1均成立， 则应有1，且当a=。时f(b)=f(）=-<0. 【高二数学参考答案第2页（共6页）】 此时存在（信，1），使得f6)=0。 综上，a<1,b<1.故选BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】2 【解析】由a⊥b,有+4(1-t)=0,可得1=2. 14.【答案】1440 【解析】除A,B外还有5个人，全排列为A种，又由A,B不相邻，且不排两端，故只能插入4个空，有A种，故 共有AA=1440(种). 15.【答案 【解析】设该人在三次游戏中累计积分不低于100分且不足150分为事件B, 则P(B)=Cg(1-3p)2·3p=9(9p3-6+p), 设f(p)=9p-6p+p,则f(p)=27p-12p+1=(3p-1)(9p-1), 令∫(p)=0,解得p=号或p=名（舍去）” 设该人一次游戏所得积分为变量X,易知X=10,20,50, 所以E(X)=10p+20×2p+50×(1-3p)=50-100p-350 9 16.【答案】2√2 【解析】因为椭圆C的离心率为号，不妨设椭圆C:号+苦-1，则可设直线1：=m一1(m>0) 其中m是直线I的斜率的倒数，设A(xy),B(x2),其中y<0<必， (x=my-1. 猫圆C联立干+芳-1，消去，整理得（3r十y一60 6m -9 所以y+为=3m+4为3m+4 所以普无洛-普0》之， 2(a+c) 4a 因为n十n=2,所以当，”-普-警，整理得-7=5， 又y十为 6 一15m 21m 3m+,所以3nm千=3m干 、所以业三3m十4)了3m十4：解得”号， -15×21m2 -9 所以直线1的斜率k=上=2√区， 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.【答案】(1)AB=√19(2)317+3 【解析】1)不妨设∠ACB=∠ACD=0(0E(0,受)： 则在△ACD巾，由余弦定理可知，cos0=ACCD一AD_1 2AC·CD 4 …2分 在△ABC中，由余弦定理可知，AB=AC十BC-2AC·BC·cOs0, 所以AB=9+16-2X4X3X号=19，即AB=V丽： ……5分 (2)因为osB=号，所以snB=号，所以sm∠BAC=sm(B+0)=号 方sin0,…6分 【高二数学参考答案第3页（共6页）】 AC 在△ABC中，由正弦定理可知，mBsn∠BAC BC 所以 BC =4 5 osg叶sin0 ，所以BC=4co50十3sin0,……7分 所以S%A=号·AC·BC·sin0=2(4sin优os0十35im20, 8分 已知在△ACD中.CD=2ACos0=8c0s0.所以Sam=之·ACCD·sm0=160.9分 所以四边形ABCD的面积S=2(4sin0cos0+3sin0)+16 sin Ocos0=12sin20-3cos20+3, 所以S=V12+3sin(20+g)+3≤√53+3=3√7+3.…10分 18.【答案】(1)10(2)有99.9%的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关(3)分布列见 解析：E(X)=2 【解析】(1)由题意可得高三12个班级共抽取120名， 所以40十x十10十3.x一10十40=120，解得x=10;……………3分 (2)利用列联表可得X-120XC40X4020X20)-10≈13.33>10.828. 60×60×60×60 3 所以有99.9%的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关：…6分 (3)这6人中课余学习时间超过两小时的人数为6×0”20=4，课余学习时间不超过两小时的人数为2。 X的取值为1,2,3，………………… 8分 有P(X=1)= ac 1 C 5… …9分 PX=2)-e=g, C 10分 P(X=3)= C 11分 故X的分布列为： X 1 2 3 3 1 5 5 EX0=1X号+2x号+3×吉=2 12分 19.【答案110s=2(2)T-名(aeN) 【解析】(1)因为S元+1=3S十a+1·S。,所以S+1=3S+(S+1-S.)·Sn,…2分 整理得S+1-S。+1Sm-2S%=0,即(S+1十S.)(S.+1-2Sw)=0, 4分 因为数列{n}的各项均为正数，所以S>0,所以S+1=2Sn,………6分 又S1=a1=2,所以S=2": (2)由(1)可知，S。=2”,所以当n≥2时，a.=S。一S4-1=2-1, 2,n=1, 又当n=1时，a1=2,所以a。= …7分 2-1,n≥2， 则当n=1时，T=1=1 a2 1 12 两式相减，可得T,三号十之· 7n+2 1 2-了 22T 11分 【高二数学参考答案第4页（共6页）】 万=宁满足上式，所以T,=子-兴（∈N) ………………12分 20.【答案】1)AP=42(2)10 5 【解析】(1)如图，作PD⊥BC,垂足为D,连接AD, 因为平面PBC⊥平面ABC,PD⊥BC, 平面PBC∩平面ABC=BC,且PDC平面PBC, 所以PD⊥平面ABC,因为ADC平面ABC.所以PD⊥AD, 因为ABC平面ABC,所以PD⊥AB,………2分 又AB⊥AP,AP∩AD=A,且AP,ADC平面PAD, 所以AB⊥平面PAD, 因为ADC平面PAD.所以AB⊥AD. 所以二面角P-AB-C的平面角为∠PAD,4分 即∠PAD=45°， 因为AB=43,AC=2√5，AC⊥BC, 所以∠BAC=60°，所以∠DAC=30°，即AD=4, 所以AP=V2AD=4V2；……6分 (2)如图，建立空间直角坐标系，则B(45,0,0),C(3,3,0).P(0,4,4), 7分 所以AB=(43,0.0),AC=(5,3,0),AP=(0,4,4), m·A方=4V31=0, 设平面ABP的法向量为m=(x,y,),则 m·AP=4y+41=0, 取y1=一1，则x1=0,1=1,所以m=(0,一1,1)，… …9分 n·AC-V3x+3=0. 设平面ACP的法向量为n=(,y,2),则 n·AP=42+42=0, 取x经=3，则姓=一1,2=1，所以n=(3,一1,1)，……11分 设锐二面角B-AP-C为0， m·n 1+1 =10 所以cos0=Tm·11·√3+1+可 44044…4444…4444444…444444+444444444+…444440… 5 12分 21.【答案11)千-y=1(23-10(+)=-12 =一2 k 【解析】1)由题意可知，￡=5 a2 因为AB引=2a,所以k=0,m=√3时，MN=4,…………………………1分 所以该双曲线经过点(2aw3),即》-是=1，解得=1。 …3分 又a”十b=c2,所以a=2,c=√5， 即双曲线C的标准方程为一=l…4分 (2)当m=一6k时，直线l的方程为y=k(x一6)， 联立方程 4y=1, 消去y后整理为(4k2一1)x2一48kx+144k2+4=0, y=k(x-6), 48k2 有x1十= 4k-7=1442+4 4k2-一1， 有3，-10（十）-3145十-480=12-485=12042=-12.…8分 4k2-1 4k2一14k-1 4k2一1 【高二数学参考答案第5页（共6页）】 有产“9=“ k(x-6) 有= 一2 -x-6)(+2=1西-6+2-12=4-6.十2x十3xx-10x+)= (-6=x1-6)(x-2)=1-2x-6.r2+12=12-2x-6x2-3x12+10(+) x+2 4-16-84=2(x西-40-2）=-2， -2x1x+8x1十4xg-(x1xg一4x1-2x） 放3x10(十)12，分2。…………12分 22.【答案】(1)详解见解析(2)略 【解折】1)f(T)一号气2.………1分 ①当a≤0时，∫(x)>0,此时函数f(x)单调递增，增区间为(0，十o∞)，没有减区间：…2分 ②当a>0时，令(x)>0,可得x>a,此时函数f(x)的减区间为(0，a),增区间(a,十o∞)；…3分 (2)令1=2(1>1)，由f(x1)=fx)=0,有a+lnm+a-2=4+lnm+a-2,可得a= iraln T T:I ……………4分 曲线y=f(x)在x=处的切线方程为y=二“(x一)， 曲线y=j八)在=西处的切线方程为y心一，…………5分 联立两条切线方程，消去有（一）-(x一)， 有（层）-（1-只)=（房号）-(-共) 有[（分）+a(分)]=a(分)： 有（分儿1-（分+）]=（分-） 有[（分+）-1]r=a,即[a(+）-]m=a ……8分 可得品=a(公+)-1，代入a=- 有= ir:In (x+z:)In 五-1=+1）ln1-1,…10分 x:-x 要证m<a台g>1=+)ln1-1>1lnt-2-D>0. t-1 十1 ◆oh≥.有-名票>0 可知函数g(x)单调递增，由g1)=0,可知当>1时，1n1一2二>0， 1+1 故有m<a. 12分 【高二数学参考答案第6页（共6页）】