精品解析：河北省邯郸市三龙育华中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷

邯郸市育华中学2022-2023学年第一学期高二年级第一次月考 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 2. 若，，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 3. 已知直线l方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线，的图像可能是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，共线，则 C. 若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 7. 已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设定点，B是x轴上的动点，C是直线上的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选项错的得0分. 9. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 的斜率可为任意值 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，不经过第三象限 11. 如图，以等腰直角三角形斜边上高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 平面的法向量和平面的法向量互相垂直 12. 如图 ， 已知正方体的棱长为，为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段 D. 若点是的中点，点是 的中点， 过作平面平面，则平面截正方体的截面周长为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，，且，则实数的值是________ 14. 在平面直角坐标系中，过原点向直线l作垂线，垂足为，则直线l的点法式方程为___________. 15. 点到直线的距离的最大值是________. 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身；平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为C的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A； ②若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称； ③若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线． 其中假命题是______（写出所有假命题的序列）. 四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分. 17. 若直线l的方程为. （1）若直线l与直线m：平行，求a的值； （2）若直线l在x轴上截距是y轴上截距的，求该直线的方程. 18. 在正方体中，棱长为2，E，F分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点F到的距离． 19. 已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上. （1）求AB边上的高CE所在直线的方程； （2）求△ABC的面积. 20. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上的一点． （1）求证：； （2）线段上是否存在点使得平面与平面所成面面夹角为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 21. 已知直线方程为，其中. （1）求证：直线恒过定点； （2）若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程. 22. 如图所示为一个半圆柱，为半圆弧上一点，. （1）若，求四棱锥的体积的最大值； （2）有三个条件：①；②直线与所成角正弦值为；③.请你从中选择两个作为条件，求直线与平面所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邯郸市育华中学2022-2023学年第一学期高二年级第一次月考 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，进而求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：A 2. 若，，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可 【详解】因为 所以 故选:A 3. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，然后根据空间向量的平行关系可求的值. 【详解】因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行， 所以，解得； 故选：C. 4. 直线，的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定，判断另外一条是否与之相符 【详解】直线可化，直线可化为. A中，由可知，，但此时与图像不符，错误； B中，由可知，，但此时与图像不符，错误； C中，由可知，，此时图像合理，正确； D中，由可知，，但此时与图像不符，错误. 故选：C 5. 如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解. 【详解】， ， ， ， 故选：A. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，共线，则 C. 若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【解析】 【分析】当反向时，，可得A错误；利用共线向量定义可知，当向量共线时，向量所在的直线不一定平行，即B错误；当共线时，由共线向量定义知不一定为1，可知C错误；由空间向量证明点共面可知D正确. 【详解】对于A，当同向时，， 当反向时，，故A错误； 对于B，若共线，则或四点共线，故B错误； 对于C，若共线时，则可知A，B，C三点共线，不一定为1， 比如，，可得A，B，C三点共线，必要性不成立，故C错误； 对于D，因为三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知四点共面，故D正确， 故选：D 7. 已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 8. 设定点，B是x轴上的动点，C是直线上的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作关于的对称点，关于x轴的对称点，根据两点间线段最短，则的长即为所求. 【详解】解：作出点关于的对称点，关于x轴的对称点， 连接，交直线于点C，交x轴于点B，如图， 则， 周长的最小值为. 故选：B. 【点睛】考查公理“两点间线段最短”的应用，基础题. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选项错的得0分. 9. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案. 【详解】由题意，，，所以，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或， 所以或. 故选：AB 【点睛】本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 的斜率可为任意值 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，不经过第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线的斜率判断A，根据直线方程，结合直线的位置关系判断BCD． 【详解】当时，直线的斜率为，A错； 若，则，即，经检验符合题意，B正确； 若，则，解得，C错； 易得直线过定点，时直线方程为，时直线方程为， 直线不经过第三象限，斜率存在且不为0时，则有斜率，解得， 因此有，D正确， 故选：BD． 11. 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 平面的法向量和平面的法向量互相垂直 【答案】BC 【解析】 【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量的数量积为，分别判断A ，B，C选项；求出平面的法向量，由得出D错误． 【详解】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 设折叠前的等腰直角三角形的斜边，则，则，，，. 从而有，故A错误；，故B正确；，故C正确；易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则即令， 则，故，，故D错误 故选：BC 【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，考查空间向量的应用，属于中档题． 12. 如图 ， 已知正方体的棱长为，为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段 D. 若点是的中点，点是 的中点， 过作平面平面，则平面截正方体的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 分析】对于A，利用可得，A正确； 对于B，建立空间直角坐标系，根据，计算得满足条件的点不在平面内，故B错误； 对于C，建立空间直角坐标系，根据，可得方程，判断C正确； 对于D，关键找到直线，使平面，且平面，以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，得到截面图形，计算得答案，D正确. 【详解】对于A，为正方形底面内一点时，由，三棱锥的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，故A正确； 对于B，以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 若，则，所以即，此时点不在底面内，与题意矛盾，故B错误； 对于C，因为，若，，所以即，所以的轨迹就是线段，故C正确； 对于D，因为，， 又平面，平面，， 所以平面， 因为面平面， 异面，平面，所以平面， 以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线， 如图所示，易知每个侧面的交线均相等，长度为正方体的面对角线的一半， 由于正方体的棱长为，故面对角线长为， 所以截面周长为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，，且，则实数的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直，则数量积为零，以及向量的线性运算，列式计算即可. 【详解】因为，， 故可得. 因为， 故可得， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，数量积运算，以及向量垂直的坐标公式，属综合基础题. 14. 在平面直角坐标系中，过原点向直线l作垂线，垂足为，则直线l的点法式方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的点法式方程的求法即可得答案. 【详解】解：因为过原点向直线作垂线，垂足为， 所以是直线的一个法向量， 设点，点是直线上任意一点，则是直线上一个确定的点， 因为，即， 所以直线的点法式方程为， 故答案为：. 15. 点到直线的距离的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式、再由三角函数的辅助角公式及三角函数的性质求得最值． 【详解】由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离 . 当时，. 故答案为： 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、及三角辅助角公式及三角函数的性质的综合应用，属于基础题． 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身；平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为C的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A； ②若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称； ③若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线． 其中的假命题是______（写出所有假命题的序列）. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对①，设点，由定义求得与的“伴随点”，化简即可判断； 对②，任取关于x轴对称两点，分别求出它们伴随点，化简可判断； 对③，任取不过原点的直线上的三点，验证其中对应的两点伴随点斜率即可判断. 对④，由③知一条直线上的三点对应的伴随点不共线，所以可判断 【详解】对①，设点，则，则点的 “伴随点”为，不为点A，故①错； 对②，任取两点关于x轴对称，则两点伴随点分别为 ，关于y轴对称，故②对； 对③，不妨取上的三个点，则对应的伴随点分别为 ，由，所以对应的伴随点不共条线上，故③错. 对④，由③知一条直线上的三点对应的伴随点不共线，所以可判断一条直线的“伴随曲线”不是一条直线，故④错， 故答案为：①③④ 四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分. 17. 若直线l的方程为. （1）若直线l与直线m：平行，求a的值； （2）若直线l在x轴上截距是y轴上截距的，求该直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线平行列出方程求解a即可； （2）先判断，然后求出直线的横纵截距，再由截距关系列方程求出，最后求解直线方程即可. 【小问1详解】 因为直线l：与直线m：平行， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，直线l的方程为，直线没有横截距，不合题意； 当时，令，得，即直线在轴上的截距为. 令，得，即直线在x轴上的截距为. 因为直线l在x轴上截距是y轴上截距的，所以， 即，解得或. 则直线的方程是或. 18. 在正方体中，棱长为2，E，F分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点F到的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，先证明，进而证明平面. （2）在中，通过等面积法计算点F到的距离. 【小问1详解】 取中点为，连接， 因为是正方体，点和为所在棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 在正方形中，点和为中点， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接， 则，，， 在中，设边上的高为，则， 设点到的距离为，由等面积法可得 ，即，解得. 所以点F到的距离为. 19. 已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上. （1）求AB边上的高CE所在直线的方程； （2）求△ABC的面积. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由题意可知，为的中点，，利用斜率计算公式、点斜式即可得出． （2）由 得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出． 【小问1详解】 解：由题意可知，为的中点，因为，，所以，，所以， 所在直线方程为，即． 【小问2详解】 解：由 解得，所以，所以平行于轴，平行于轴，即， ， ． 20. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上的一点． （1）求证：； （2）线段上是否存在点使得平面与平面所成面面夹角为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）利用面面角向量求法建立方程，再求解参数，最后判断即可. 【小问1详解】 因为平面，， 所以以为原点建立图中空间直角坐标系， 因为，所以，，, 设，所以，，， 故，即得证， 【小问2详解】 设面的法向量为， 由上问得，， 故得，解得，取， 得到，易得面的法向量为， 若平面与平面所成面面夹角为， 则，解得， 由题意得，我们解出的不在范围内，故舍去， 所以不存在定点的位置. 21. 已知直线方程为，其中. （1）求证：直线恒过定点； （2）若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）面积最小值为4，此时的直线方程. 【解析】 【分析】 （1）直线的方程为化为：，令，解出即可得出结果； （2）设出直线的点斜式方程，求出直线与坐标轴的交点，将三角形面积公式和基本不等式相结合即可得出结果. 【详解】（1）证明：直线的方程为，其中， 化为， 令，解得， 则直线经过定点. （2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且， 因此可设直线的方程为， 可得与轴、轴的负半轴交于，两点， ，，解得． ∴， 当且仅当时取等号． 此时直线的方程为：，化为：. 【点睛】本题考查了直线系、点斜式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 22. 如图所示为一个半圆柱，为半圆弧上一点，. （1）若，求四棱锥的体积的最大值； （2）有三个条件：①；②直线与所成角的正弦值为；③.请你从中选择两个作为条件，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）在平面内作于点，可得为四棱锥的高，易知，，可得，再根据重要不等式可得，进而求出体积的最大值即可； （2）首先依次对三个条件进行分析计算可得出：从①②③任选两个作为条件，都可以得到，设点到平面的距离为，与平面所成角为，由得，再作于点，连接，易知，然后可求出，最后求出的值. 【详解】（1）在平面内作于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，即为四棱锥的高， 因为为半圆弧上一点，所以， 所以， 因为， ， 当且仅当时等号成立， 所以四棱锥的体积的最大值为； （2）由条件①得：， 即，所以， 又因为，所以，， 由条件②得：因为，平面， 所以为直线与所成角，且， 由条件③得：， 设，， 若选条件①②，则，，且， 所以， 若选条件①③，则，，且，所以， 若选条件②③，则，且，， 所以， 即从①②③任选两个作为条件，都可以得到， 下面求与平所成角的正弦值： 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 则由得：，所以， 作于点，连接， 则由平面知：是在平面内的射影，所以， ， ，，， 所以与平面所成角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：求解空间中的线面角的方法通常用几何法和向量法. ①利用几何法的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角. ②利用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$