专题1-7 一文讲透圆的十大基本模型·母题溯源-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题1-7 一文讲透圆的十大基本模型·母题溯源 目录 模型梳理 题型一 弦切角定理与切割线定理 湖北·黄石中考 湖北·十堰中考 2023·新疆·中考真题 题型二 中点弧模型 苏州·中考真题 深圳·中考真题 2023·山东枣庄·统考中考真题 2023·江苏无锡·统考中考真题 2023·四川遂宁·统考中考真题 题型三 内心模型 黑龙江绥化·中考真题 广东省卷·中考真题 湖北·孝感中考真题 题型四 线段和差问题（构造手拉手or阿基米德折弦定理） 类型一：构造手拉手 2023·吉林长春·统考中考真题 类型二：折弦定理 山西中考 深圳·中考 题型五 平行弦与相交弦模型 2023·江苏苏州·统考中考真题 深圳·中考 2022·湖南张家界·中考真题 题型六 垂径图 四川绵阳·中考 题型七 等腰图 2023·四川成都·统考中考真题 四川宜宾·统考中考真题 2023·湖北黄冈·统考中考真题 2023·辽宁营口·统考中考真题 广西玉林·统考中考真题 2023·四川眉山·统考中考真题 湖北孝感·中考真题 2022·湖北十堰·统考中考真题 题型八 双切图 四川遂宁·统考中考真题 湖北武汉·中考真题 四川泸州·中考真题 四川乐山·中考真题 广东省卷·统考中考真题 四川·乐山中考 湖北武汉·中考真题 题型九 射影图 安徽·统考一模 四川成都·统考一模 2023·湖南永州·统考中考真题 2023·四川广安·统考中考真题 题型十 切割图 模型梳理 圆的基本模型（一）：弦切角定理与切割线定理 ①是切线；②（弦切角定理）；③ 以上三个结论知一推二 弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所夹的弧所对的圆周角∠2 圆的基本模型（二）：中点弧模型 点P是优弧AB上一动点，则 【以下五个条件知一推四】 1 点C是的中点 2 AC＝BC 3 OC⊥AB 4 PC平分∠APB 5 (即) 【简证】∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似 【补充】⑥PE•PC＝PA•PB，注意：⑥不能反推出前五项 【例题】 如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则　　． 【简证】 易知，则， 圆的基本模型（三）：内心模型与等腰 【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰 如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD   【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3 圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理） 一、中点弧与旋转 【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点 邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.  由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似. 常见结构（1）：圆内接等边三角形 结论：PB+PA=PC 【简析】 常见结构（2）：圆内接等腰直角三角形（正方形） 结论： 【简析】 补充：【托密勒定理】：秒杀！（选填可用） 二、阿基米德折弦定理 【模型解读】 【问题】：已知M为的中点，B为上任意一点，且MD⊥BC于D．求证：AB＋BD＝DC 证法一：(补短法) 如图：延长DB至F，使BF＝BA ∵M为中点 ∴＝， ∴∠1＝∠2－－－① 又∵ ＝， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3－－－② 又∵∠3＋∠MBF＝180°－－－③ 由圆内接四边形对角互补∴∠2＋∠MBA＝180°－－－④ 由①②③④可得：∠MBA＝∠MBF 在△MBF与△MBA中； ∴△MBF≌△MBA (SAS) ∴MF＝MA， 又∵MC＝MA ∴MF＝MC 又∵MD⊥CF ∴DF＝DC ∴FB＋BD＝DC 又∵BF＝BA ∴AB＋BD＝DC (证毕) 证法二：(截长法——两种截取方式) 如图1：在CD上截取CG＝AB，则有DC＝CG＋DG，再证出BD＝DG即可 ∵＝ ∴∠1＝∠2－－－① 又∵M是中点， ∴MA＝MC－－－② 由①②可知，在△MBA与△MGC中 ∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴BD＝GD 又∵MD⊥BG ∴BD＝DG ∴AB＋BD＝DC (证毕) 如图2：在CD上截取DB＝DG，再证明AB＝CG即可 简证：易知△MBG与△MAC均为等腰三角形，且∠1＝∠2，可知△MBG与△MAC构成手拉手模型， ∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴AB＝CG 常规证明：∵MD⊥BG ∴MB＝MG ∴∠2＝∠MGD－－－① 又∵ ＝， ∴∠1＝∠2－－－② ∵M是中点， ∴＝ ∴∠1＝∠MCA－－－③