专题27.9 相似章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题27.9 相似章末十大题型总结（培优篇） 【人教版】 【题型1 由比例的性质求值或证明】 1 【题型2 由平行判断成比例的线段】 2 【题型3 黄金分割】 3 【题型4 证明两三角形相似】 4 【题型5 证明三角形的对应线段成比例】 5 【题型6 确定相似三角形的点的个数】 6 【题型7 相似与翻折】 7 【题型8 利用相似求坐标】 9 【题型9 在网格中作位似图形】 9 【题型10 相似三角形的应用】 11 【题型1 由比例的性质求值或证明】 【例1】（2023秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，求的值． 【变式1-1】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知为的三边长，且，，求三边的长． 【变式1-2】（2023秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）已知线段满足，且 (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值． 【变式1-3】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【题型2 平行判断成比例的线段的运用】 【例2】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（        ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，与相交于点，点在上，且，若，，求的长．    【变式2-2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】（2023秋·四川成都·九年级校考期中）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，且，，分别交，，于，，，则的长为 ． 【题型3 黄金分割的运用】 【例3】（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段 的黄金分割点，且，则图中五边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·山东威海·九年级校联考期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ．    【变式3-2】（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）    【变式3-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市立达中学校校考期末）已知线段，点是线段的黄金分割点（），    (1)求线段的长； (2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 【题型4 证明两三角形相似】 【例4】（2023秋·广东清远·九年级统考期末）如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 【变式4-1】（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，已知，． (1)求的长； (2)求证：． 【变式4-2】（2023秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，垂足为点，点是上的一点，连接，作，且交于点. （1）求证：； （2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来. 【变式4-3】（2023秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处． (1)求证：； (2)若，，求的长． (3)当点是线段的中点时，求证：． 【题型5 证明三角形的对应线段成比例】 【例5】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【变式5-1】（2023春·江西南昌·九年级统考期末）(1) 已知抛物线的图象经过点（-2，-1），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式． (2)    如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边上的点，且∠ADE=∠C． 求证： 【变式5-2】（2023·上海松江·统考一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【变式5-3】（2023春·