精品解析：上海市徐汇中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

徐汇中学2023学年第一学期高三年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则__________. 2. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______. 3. 已知，，则在上投影向量为________． 4. 已知函数，若，则___________. 5. 在的二项展开式中，含有项的系数为______. 6. 已知，且，则的值是_________. 7. 5件产品中有3件正品，2件次品，从中任取2件，则恰有一件正品的概率为______ 8. 已知等差数列前15项的和=30，则=___________． 9. 已知在处取得极值，则的最小值为__________. 10. 已知函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为________. 11. 在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______． 12. 设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 下列四个命题中，为真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 14. 在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）条件 A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 若存在实数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.有下列命题：①和之间存在唯一的“隔离直线”；②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为，则（ ） A. ①､②都是真命题 B. ①､②都是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，E、F分别为棱PD、PA的中点． （1）求证：平面PBC； （2）求异面直线PB与AE所成的角． 18. 已知函数（其中）． （1）若函数的最小正周期为,求的值，并求函数的单调递增区间； （2）若，，且，求的值． 19. 某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2023年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施： 项目 金额[万元（人·年）] 性质与计算方法 基础工资 2022年基础工资为1万元 考虑到物价因素，决定从2023年起每年递增（年入职年限无关，2023年基本工资为万元） 房屋补贴 008万元 从2023年起，按职工到公司年限计算，每年递增0.08万元 医疗费 0.32万元 固定不变 如果该公司2023年有5位职工，计划从2024年起每年新招5名职工．若2023年算第一年 （1）求第三年公司付给职工工资总额. （2）将第年该公司付给职工工资总额（万元）表示成年限的函数； （3）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费之和总是不会超过基础工资总额的，求的最小值． 20. 已知椭圆，是的下焦点，过点的直线交于、两点， （1）求的坐标和椭圆的焦距； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程； （3）在轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求在的最值； （3）若函数在上是严格递增函数，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐汇中学2023学年第一学期高三年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 分析】 由交集定义计算． 【详解】 故答案为：． 2. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出． 【详解】解：复数是纯虚数， ，解得， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及纯虚数的定义，属于基础题． 3. 已知，，则在上投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义求结果即可. 【详解】由题意，在上的投影向量为. 故答案为： 4. 已知函数，若，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，借助单调性分析取值范围，再列式计算作答. 【详解】依题意，当时，函数单调递增，；当时，单调递增，， 因此由，得，解得， 所以. 故答案为：4 5. 在的