精品解析：上海市浦东新区上海中学东校2024届高三上学期期中数学试题

上海中学东校2023学年第一学期高三年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的定义域为_________________. 2. 函数且的图像恒过定点，则点的坐标为___________. 3. 若函数是奇函数．则实数_____． 4. 已知，若函数的一个零点为，则________． 5. 设等差数列{an}的前n项之和为Sn满足S10﹣S5＝20，那么a8＝　 6. 二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 7. 关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为___________． 8. 设正数满足，则的最小值是_____________. 9. 已知是定义在R上的奇函数且对于任意的均有，若当时，，则________． 10. 中，，若，，其中，则的最小值为__________. 11. 椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为_____． 12. 若a、，且对于时，不等式均成立，则实数对_________． 二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分) 13. 下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ） A. 与 B. 与 C 与 D. 与 14. 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧(如图)，点在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则所在的圆弧是 A. B. C. D. 15. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 16. 将函数，的图象绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题(共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分) 17. 在中，角所对应边分别为，且，，．求： （1）a的值； （2）和的面积． 18 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求a的取值范围. 19. 已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数）． （1）求证：数列为等差数列； （2）若，数列满足，，，（，为正整数），记为的前n项和，比较与的大小． 20. 已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内． （1）求双曲线的方程； （2）若直线分别与直线交于两点，证明为定值； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21. 已知函数，，令 （1）当时，求函数在处切线方程； （2）当a为正数且时，，求a的最小值； （3）若对一切都成立，求a取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海中学东校2023学年第一学期高三年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的定义域为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义计算可得. 【详解】函数，令，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 2. 函数且的图像恒过定点，则点的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设求出定点的横坐标，代入函数求出定点的纵坐标，即得解. 【详解】解：设. 当时，， 所以函数的图象经过定点. 故答案： 3. 若函数是奇函数．则实数_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用奇函数的性质即，可得实数. 【详解】令，因为函数的定义域为R，且是奇函数， 所以，解得. 当时，函数满足. 所以. 故答案为：1. 4. 已知，若函数的一个零点为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先代入零点，求得的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为： 5. 设等差数列{an}的前n项之和为Sn满足S10﹣S5＝20，那么a8＝　 【答案】4 【解析】 【分析】根据数列前n项和的定义S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即可求． 【详解】根据数列前n项和的定义得出：S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即为5a8＝20，a8＝4 故答案为4． 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题． 6. 二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 【答案】10 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，令 得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可. 【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为