精品解析：四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二上学期期中数学试题

高2022级上学期数学期中考试题 2023.11.13 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则（     ）   A. 2 B. C. 0 D. 3. 投壶是从先秦延续至清末汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若椭圆的离心率为e，则e的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 在平面直角坐标系中，设点，点M在单位圆上，则使得为直角三角形的点M的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面.记与平面所成角为，与所成角为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9. 掷一枚均匀的硬币两次，记事件“第一次出现正面”，“第二次出现反面”，则有（ ） A. A与相互独立 B. C. A与B互斥 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过点作圆的切线，切线方程为 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 直线方向向量 11. 如图，已知正方体的棱长为2，M､N分别是､的中点，平面与棱的交点为E，点F为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积为 C. 若则平面 D. 若，则直线与所成角正弦值为 12. 已知平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点P的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，若，则下列关于动点P的结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹所包围的图形的面积等于 B. 当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是6 C. 当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 D. 若点，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 点关于的对称点为_______________ 14. 在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是_________ 15. 数据1，2，7，3，4，5，3，6的分位数是，则的取值范围是__________ 16. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为________.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或步骤. 17. 已知直线经过点． （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 18. 已知椭圆：，其中一个焦点坐标是，长轴长是短轴长的2倍. （1）求的方程； （2）设直线：与交于，两点，若，求的值． 19. 如图，在正四棱柱中，，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 21. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且. （1）求证：； （2）若，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由. 22. 如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）证明直