精品解析：湖北省荆荆襄宜七校考试联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

2023年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）统计表如下： 年级 抽查人数 平均时间 方差 高一 40 50 4 高二 60 40 6 则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（ ） A. 52 B. 29.2 C. 10 D. 6.4 3. 如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：与：，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 6. 如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，，这个容器最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ） ①的坐标为；②；③若，则双曲线的离心率； A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变 B. C. 剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数 D. 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 B. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 C. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 D. 在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为 11. 已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. 若点，则直线的方程为 B. 面积的最小值为 C. 直线过定点 D. 以线段为直径的圆可能不经过点 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（ ） A. 的最小值为9 B. 四边形的周长为8 C. 直线，的斜率之积为 D. 若点为椭圆上一个动点，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 14. 已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______________． 15. 已知双曲线方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是_____________． 16. 已知三棱锥中，平面，，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为__________________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，是棱上的中点． （1）证明平面； （2）求三棱锥的体积； 18. 已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面与FC，EC分别交于P，Q两点. （1）若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及理由； （2）线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面所成角的正弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由. 20. 已知椭圆，其上顶点为； （1）若直线与椭圆交于、两点，求证：为定值； （2）由椭圆上不同三点构成的三