江西省丰城拖船中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题

拖船中学2023-2024学年第一学期（中） 高三数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知为虚数单位，复数z满足：，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于（ ） A．0 B．1 C．4 D．2 5．设点是的重心，若， ，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若恒成立．则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 8．已知函数，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（　　） A．面积的最大值为 B．的最大值为 C．的取值范围为 D． 10．函数满足，，，则（    ） A． B． C．为奇函数 D． 11．棱长为a且体积为V的正四面体的底面内有一点H，它到平面、、的距离分别为，，，E，F在与上，且，，下列结论正确的是（    ） A．若a为定值，则为定值 B．若，则 C．存在H，使，，成等比数列 D．若，则，，成等差数列 12．设函数，数列满足，则（    ） A．当时， B．若为常数数列，则或2 C．若为递减数列，则 D．当时， 三、填空题（共20分） 13．“”是“”的 条件．（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个） 14．已知数列为等差数列，其前n项和为，若，则使成立的正整数n的最小值是 15．如图，平行六面体中，，则的长为 . 16．已知实数，对，恒成立，则的取值范围为 . 四、解答题（共70分） 17．已知函数. (1)求函数的振幅、最小正周期、初相； (2)用“五点法”画出函数在上的图象． 18．已知数列的前项的和，数列的前项的和满足，. (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列的前项的和. 19．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面二面角的大小为，分别是的中点． （1）求证：平面 （2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20．某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展､百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，启动建设了一所高标准､现代化､智能化的新校，并由县政府公开招聘事业编制教师，招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，面试时应聘者需要回答三道题，第一题考查教育心理学知识，答对得10分，答错得0分；第二题考查学科专业知识，答对得10分，答错得0分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分，非优秀者得5分． （1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布，80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)； （2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否､优秀与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列及其数学期望． 附：若随机变量，则. 21．已知点，圆，为上一动点，连接，，设线段的中点，为上一点，且满足，动点形成曲线． （1）求的取值范围； （2）直线与曲线是否相切？请说明理由． 22．已知函数，其中． （1）求函数的单调区间； （2）若函数存在两个极值点，，且，证明：． 标准答案 1．B 由题知，，在点处的切线斜率为，则在处的切线方程为. 因为直线与曲线相切于点，有且只有这一个公共点，故中有且只有一个元素， 所以的子集个数为2个． 故选:B． 2．B 故的虚部为 故选：B. 3．A 解：因为若“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 故选：A 4．A 由分布列的性质，得，. ∵E(X)＝2，∴.∴m＝6－2n. ∴D(X)＝ ∴n＝2时，D(X)取最小值0. 故选：A. 5．C 解：设是的中点，连接．因为是的重心， 所以 因为， 所以， 所以 当且仅当时取等号 故选：C 6．B 依题意，当时，，当时，， 解得，当时，在上单调递减，成立，则有， 当时，，令，， ，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，，于是得， 综上得，， 所以a的取值范围为. 故选：B 7．C 设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双