精品解析：重庆市杨家坪中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

重庆市杨家坪中学高2025届高二（上）第二次月考数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -2 2. 圆心为且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. D. 4. 已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ） A. 20 B. 16 C. 18 D. 14 5. 直三棱柱中，，，，则直线与夹角余弦是（ ） A. B. C. D. 6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知三棱锥，，且，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. B. 两个圆心所在的直线的斜率为 C. 最大值为7 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 10. 已知点，直线，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 若直线与线段有交点，则 C. 点到直线的距离的最大值为 D. 若为直线上一点，则的最小值为 11. 已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆C的离心率为 C. 直线l的方程为 D. 的周长为 12. 如图，四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 到平面的距离为 D. 四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为________. 14. 已知向量共面，则________． 15. 已知椭圆右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则______． 16. 已知点在上运动，点在圆上运动，且最小值为，则实数的值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在如图所示的斜三棱柱中，. （1）设，，，用，，表示，； （2）若，，求的长. 18. 已知直线l过点. （1）从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程； 条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大； 条件②：直线l一个方向向量为； [注：若选多个条件作答，只按第一个作答给分] （2）若直线l在y轴截距是x轴截距的2倍，求直线l的方程. 19. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 20. 在正方体中，设，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 21. 已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线方程； （2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两个不同的点，记的面积为，求的最大值． 22. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜