精品解析：河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

绝密★启用前 焦作市博爱一中2023—2024学年（上）高二年级期中考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知函数，方程，，则方程的根的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　) A. 2 B. 1 C. D. 4. 中，角，，的对边分别为．若向量，，且，则角的大小为 A B. C. D. 5. 已知，，，，则（ ） A B. C. D. 6. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 设点是曲线上的任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，，，点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ） A. B. C. 的坐标为 D. 的坐标为 10. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 11. 已知平面，其中点，法向量，则下列各点在平面内的是（     ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线：，过点的直线交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线的斜率为2，则的面积为12 B. 的最小值为 C D. 若，则 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是______.    14. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均有成立，则的最小值为__________. 15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________． 16. 如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 分别为内角的对边，已知． （1）求； （2）若在线段上，，且的面积，求的周长． 18. 如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，，平面平面，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 已知直线经过点，圆． （1）若直线与圆C相切，求直线的方程； （2）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 20. 已知椭圆：的长轴长为，且其离心率小于，为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点，的面积的最大值为. （1）求椭圆标准方程； （2）为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线为过点且与平行的直线，设与直线的交点为.证明：直线过定点. 21. 如图，多面体中，平面， （1）在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，请指出点位置并证明；如果不存在，请说明理由； （2）当三棱锥的体积为8时，求平面与平面AFC夹角的余弦值. 22. 已知高三某学生为了迎接高考，参