精品解析：湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期入学考试(寒假作业检测)数学试题

2022年高一年级寒假作业检测 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分100分. 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若， ，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 3. 已知函数是奇函数，则实数a＝（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 已知，，，则（ ） A B. C. D. 5. 角的始边在轴非负半轴，终边在第二象限，与单位圆交点纵坐标为，将其终边逆时针旋转30度后与单位圆交点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A B. C. D. 7. 已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 已知，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称 12. 已知，下面结论正确的是（ ） A. 若，，且最小值为，则 B. 存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称 C. 若在上恰有7个零点，则的取值范围是 D. 若在上单调递增，则的取值范围是 第 Ⅱ 卷 三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 13. 已知幂函数的图象如图所示，则______．（写出一个正确结果即可） 14. 函数的定义域为______． 15. 已知，，，则的最小值为______． 16. 1881年英国数学家约翰·维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是______． 17. 设函数，若关于x的方程有三个不相等的实数解，则实数t的取值范围是_______． 四、解答题（本题共5小题，18题9分，其余每小题10分，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18. 已知函数． （1）求证：； （2）已知，且，，求，的值． 19. 计算： （1）已知，求的值． （2）求值． 20. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为： 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到百万个． 21. 如图，点，，在函数的图象上． （1）求函数的解析式； （2）若函数图象上的两点，满足，，求四边形OMQN面积的最大值． 22. 已知函数，． （1）若，解不等式； （2）若函数恰有三个零点，，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年高一年级寒假作业检测 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）