精品解析：北京市西城区北师大二附中2024届高三上学期期中数学试题

北京师大二附中2023-2024学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 一、单选题（共10小题；共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量．若∥，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减是（ ） A. B. C D. 5. 记，那么 A B. C. D. 6. 已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 7. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A. B. C. D. 8. 若，则“”的一个充分不必要条件是 A. B. C. 且 D. 或 9. 已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，下列正确命题的个数是（ ） ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，．总存在，．使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共5小题：共25分） 11. 函数的定义域是_____________． 12. 已知，，，，，则_________. 13. 能够说明“恒成立”是假命题的一个的值为______. 14. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 _________________升.(结果保留分数) 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（共6小题：共85分） 16. 在中，． （1）求A； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线l与圆A相交于、两点. （1）求圆A的方程； （2）当时，求直线l的方程. 18. 某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求： （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 19. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 21. 已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值． （1）若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值； （2）若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值； （3）若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京师大二附中2023-2024学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 一、单选题（共10小题；共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，因此，. 故选：D. 2. 复数的共轭复数（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法得到复数z，再求共轭复数. 【详解】解：因为复数， 所以