安徽省合肥卓越中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

安徽省合肥卓越中学2023-2024学年上学期 高二年级 数学 期中考试 (考试总分:150 分 考试时长: 120 分钟) 一、 单选题 (本题共计8小题,总分40分) 1.经过两点的直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.以点为圆心,且与直线相切的圆的方程为( ) A. B. C. D. 3.已知,如果与为共线向量,则( ) A.1 B. C. D. 4.经过两条直线,的交点,且直线的一个方向向量的直线方程为( ) A. B. C. D. 5.如图,在正方体中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则MN的长为( ) A.a B.a C.a D.a 6.已知,则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.在我国古代的数学名著《九章算术》中,堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图,在堑堵中,,当鳖臑的体积最大时,直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 8.已知椭圆,为两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,,则( ) A. B. C. D. 二、 多选题 (本题共计4小题,总分20分) 9.已知平面的一个法向量为,以下四个命题正确的有( ) A.若直线的一个方向向量为,则 B.若直线的一个方向向量为,则 C.若平面的一个法向量为,则 D.若平面的一个法向量为,则 10.已知方程,则下列说法正确的是( ) A.当时,表示圆心为的圆 B.当时,表示圆心为的圆 C.当时,表示的圆的半径为 D.当时,表示的圆与轴相切 11.已知(a,)是直线l的方向向量,是平面的法向量,则下列结论正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 12.如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截,截面是一个椭圆,则( ) A.椭圆的长轴长为4 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的方程可以为 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 三、 填空题 (本题共计4小题,总分20分) 13.两直线与平行,则它们之间的距离为_. 14.圆与圆的公共弦长为_. 15.如图,平行六面体的底面是边长为的正方形,且,,则线段的长为 _. 16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点距离之比为定值(且)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中,点,满足的动点的轨迹为,若在直线上存在点,在上存在两点A、B,使得,则实数的取值范围是_. 四、 解答题 (本题共计6小题,总分70分) 17.(10分)在平行四边形ABCD中,,,,点E是线段BC的中点. (1)求直线CD的方程; (2)求过点A且与直线DE垂直的直线. 18.(12分)如图,在正方体中,为的中点. (1)证明:直线平面; (2)求异面直线与所成角的余弦值. 19.(12分)已知圆的圆心坐标为,直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程; (2)求经过点且与圆C相切的直线方程. 20.(12分)如图,在四棱台中,底面为矩形,平面平面,且. (1)证明:平面; (2)若,求平面与平面夹角的余弦值. 21.(12分)如图,相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l(直线)的同侧,M和N距离河岸分别为10km和8km.现要在河的小区一侧选一地点P,在P处建一个生活污水处理站,从P排直线水管PM,PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ,使小区污水经处理后排入河道.设PQ段长为t km(0 < t < 8). (1)求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值(用t表示); (2)请确定污水处理站P的位置,使所排三段水管的总长最小,并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度. 22.(12分)已知椭圆的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的离心率; (2)已知椭圆的左､右顶点分别为,且,点是上任意一点(与不重合),直线分别与直线交于点为坐标原点,求. 答案 一、 单选题 (本题共计8小题,总分40分) 1.【答案】A 【解析】由题意得,所以直线的倾斜角为; 故选:A 2.【答案】A 【解析】由直线为圆的切线,得圆的半径, 所以所求圆的方程为. 故选:A 3.【答案】D 【解析】因为与为共线向量,所以, 即,解得, 故选:D 4.【答案】A 【解析】联立方程组,解得,即两直线的交点坐标为, 因为直线的一个方向向量,可得所求直线的斜率为, 所以所求直线方程为,即. 故选: A. 5.【答案】A 【解析】设,,,则构成空间的一个正交基底. , 故,所以MN=a. 故选:A 6.【答案】B 【解析】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方, 易知圆心,半径,点C到直线的距离,则. 故选:B 7.【答案】C 【解析】在堑堵中,,,, , , , ,当且仅当是等号成立, 即当鳖臑的体积最大时