吉林省长春市第六中学2023-2024学年高二上学期第二学程（11月期中）考试数学试题

长春市第六中学高二上学期第二学程考试（数学试题） 出题人：冯旭 审题人：王彦久 本试题共四道大题，22道小题，考试时间为150分钟，满分150分 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知抛物线的准线方程为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 40 C. 6 D. 36 3. 下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线离心率是3,则其渐近线的方程为 A B. C. D. 5. 过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 设椭圆的左右焦点分别为､，上下顶点分别为､，直线与该椭圆交于､两点.若，则直线的斜率为 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线C为圆 B. 曲线C为椭圆的充要条件是 C. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 D. 存在实数k使得曲线C为抛物线 10. 设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（ ） A. B. 的最大值为7，最小值为1 C. 的最大值为16 D. △面积的最大值为10 11. 已知点与直线，下列说法正确的是（ ） A. 过点且直线平行的直线方程为 B. 过点且截距相等的直线与直线一定垂直 C. 点关于直线的对称点坐标为 D. 直线关于点对称的直线方程为 12. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 若直线与双曲线C有交点，则 C. 点P到C的两条渐近线的距离之积为 D. 当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则___________. 14. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于________. 15. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则______. 16. 已知O为坐标原点，设分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任一点，过点作的外角平分线的垂线，垂足为H，则____________ 四、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在平面直角坐标系中，点，圆． （1）求b的取值范围，并求出圆心坐标； （2）若圆C半径为1，过点A作圆C的切线，求切线的方程． 18. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组：，绘制出如下的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数； （2）先从得分在的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率. 19. 已知双曲线中，，虚轴长为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积. 20. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 21. 已知分别为三个内角A，B，C的对边，且 （1）求 （2）若，且为锐角三角形，求周长取值范围． 22. 平面内，过点和两条直线交于点P，且直线和直线的斜率之积为 （1）求点P的轨迹C的方程； （2）过点的直线交点的轨迹C于、两点，求的取值范围． 长春市第六中学高二上学期第二学程考试（数学试题） 出题人：冯旭 审题人：王彦久 本试题共四道大题，22道小题，考试时间为150分钟，满分150分 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】