数列构造法扩展 讲义——2024届高三数学一轮复习

数列的构造法以及扩展 数列构造法主要适用于形式的关系。 构造法常规解题中主要有①常数形式②幂函数形式③指数函数形式④多种函数混合⑤包括数列多项。基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。在实际运算中因的不同而使用的构造形式也不同，对于数列构造造成较大的记忆负担。因此这里统一把上诉五种形式的数列构造合并为一种解题构造思路。 主要决策：“缺啥补啥”“标号跟紧” 形如该式，通过观察可以看到等号左边后面相对于没有其他式子，因此直接构造和等号右侧旁一样的式子。因此，可以构造成为即可，构造过程中主要注意项数标号与构造的式子标号对应。下面以例题作为示范。 一、当为常数形式 例1： 解析：上式可看做是一个幂函数的形式，因此可以构造为，再解出的值即可。 解：构造 化简得到，因此得到 ∴可得，即为以等比为3的等比数列，首项为的等比数列。 后面不再做解答。 总结：当为常数形式，可直接构造即可。 2、 当为幂函数形式 例2： 解析：上式做是一个幂函数的形式，因此可以构造为，再解出，的值即可。 解：构造 化简得到 ∴ ∴带回构造式子可得 ∴是以3为公比，首项为的等比数列。 后面不再做解答。 例3： 解析：上式做是一个幂函数的形式，因此可以构造为，再解出，，的值即可。 解：构造 化简得到 ∴ ∴带回构造式有 ∴是以3为公比，首项为的等比数列。 后面不再做解答。 总结：可得针对当为幂函数形式时候，只需要明白中的最高次幂为多少，就可以从的最高次幂构造到的零次幂的一个线性式子即可。例：若中的最高次幂为4，可以构造式子即可。 三、当为幂函数形式 例4： 解析：常规解法为等式两边同时除以构造等比数列，这里我们使用“缺啥补啥”“标号跟紧”的一贯思维。等号左边相对于右边缺少指数形式，因此可构造为，这里因为题中指数为，因此为简便运算也可构造为，注意下标的变化。 解：构造 化简得到 ∴ 带回构造式子得 ∴为以3为公比，首项为的等比数列。 后面不再做解答。 总结：这样做对比当为幂函数形式常规解答方法，避免了当与后面指数底数异同需要用到的方法不同，且常规当与后面指数底数不同还需要进行令新函数，再用到构造的第一类形式。 四、当为指幂混合形式 例5： 解析：式子中既有指数又有幂函数，继续遵守“缺啥补啥”“标号跟紧”的思想。因此构造式子为。 解：构造式子为 化简得到 ∴ 带回构造式子得 因此是以3为公比，首项为的等比数列。 后面不再解答。 总结：“缺啥补啥”“标号紧跟”。 5、 当包含数列多项 例6： 解析：式子中包含3项数列，根据前面四个例子可以发现构造的两边具有对称性，因此这里我们构造的式子也具有对称性，在中间，则我们构造时候等号两边同时需要同时有，所以构造。 解：构造 化简得到： ∴ 带回构造式子得到 ∴为公比为3，首项为的等比数列。 这里接着可以构造，后面解出即可。 该题后面不再做解答。 例7： 解析：式子中不单单有三项数列还有一幂函数形式。依“缺啥补啥”“标号跟紧”的原则，可以构造式子为。 解：构造 化简得到： ∴ ∴带回构造式得到 可得到是以3为公比，首项为的等比数列。 ∴ 接下来可以构造形如即可。 总结：此构造法可以解决多数，。。。多项系数不同的数列线性式子，注意“缺啥补啥”“标号跟紧”中标号的变化问题。 ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$