精品解析：湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试卷

三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知双曲线的焦距为，实轴长为4，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知，是直线（为常数）上两个不同点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（ ） A. 无论，，如何，总是无解 B. 无论，，如何，总有唯一解 C. 存在，，，使是方程组的一组解 D. 存在，，，使之有无穷多解 6. 已知正方体棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数满足，当且时，成立.若存在使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9 已知直线：和圆：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 存在使得直线与直线：平行 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若，则的图象关于点对称 C. 若在区间上单调递增，则 D. 若在区间上恰有2个零点，则 11. 已知为抛物线：的焦点，，，是上三点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当，，三点共线时，的最小值为4 B. 若，设，中点为，则点到轴距离的最小值为6 C. 若，为坐标原点，则的面积为 D. 当时，点到直线的距离的最大值为 12. 已知正方体的棱长为1，为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知圆过点，且与直线相切，则满足要求的面积最小的圆的标准方程为______. 14. 已知，则的值为______. 15. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的体积为______. 16. 如图，椭圆：和：有相同的焦点，，离心率分别为，，为椭圆的上顶点，，，，三点共线且垂足在椭圆上，则的最大值是______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 在平面直角坐标系中，存在四点，，，. （1）求过A，B，C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系； （2）若过D点的直线l被圆M截得的弦长为8，求直线l的方程. 18. 长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题： （1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率. 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求角； （2）若点满足，且，求的面积的最大值. 20. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点在平面内的投影是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 21. 已知函数，. （1）求函数的单调递增区间； （