北京市北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

北京师大二附中2023-2024学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 一、单选题（共10小题；共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量．若∥，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减是（ ） A. B. C D. 5. 记，那么 A. B. C. D. 6. 已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 7. 函数=部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A. B. C. D. 8. 若，则“”的一个充分不必要条件是 A. B. C. 且 D. 或 9. 已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，下列正确命题的个数是（ ） ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，．总存在，．使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共5小题：共25分） 11. 函数的定义域是_____________． 12. 已知，，，，，则_________. 13. 能够说明“恒成立”是假命题的一个的值为______. 14. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 _________________升.(结果保留分数) 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（共6小题：共85分） 16. 在中，． （1）求A； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线l与圆A相交于、两点. （1）求圆A的方程； （2）当时，求直线l的方程. 18. 某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求： （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数概率分布列，并计算数学期望； （2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 19. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 21. 已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值． （1）若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值； （2）若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值； （3）若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式． 北京师大二附中2023-2024学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 一、单选题（共10小题；共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（共5小题：共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】13 【13题答案】 【答案】0 【14题