第04讲 随机事件与概率-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第4讲　 随机事件与概率 【考试要求】 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 1.相互独立事件 (1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=　P(A)P(B)　成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.  (2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立. 2.条件概率 (1)定义与性质 条件概率的定义 条件概率的性质 在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,称为B发生时A发生的条件概率,记为　P(A|B)　.  当P(B)>0时,我们有P(A|B)=.(其中,A∩B也可以记成AB) 类似地,当P(A)>0时,A发生时B发生的条件概率为P(B|A)=   (1)0≤P(B|A)≤1,P(Ω|A)=1 (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A) (3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A) (2)概率的乘法公式 由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=　P(A)P(B|A)　.  前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率. 3.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组　两两互斥　的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)= P(Ai)·P(B|Ai)　.我们称此公式为全概率公式.  易错点提醒 （1）P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 （2）全概率公式的意义在于,当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时,可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=A1∪A2∪…∪An,A1,A2,…,An两两互斥,将A1,A2,…,An看成是导致B发生的一组原因,这样事件B就被分解成了n个部分,分别计算P(B|A1),P(B|A2),…,P(B|An),再利用全概率公式求解. 1.（多选）下列说法正确的是（ ） A事件发生的频率与概率是相同的． B两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生． C从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同． D若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件． 【答案】BC 2．从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件： ①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是黄球； ③恰有1个白球与恰有1个黄球； ④至少有1个黄球与都是白球． 其中互斥而不对立的事件共有(　　) A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】　A 【解析】解析　对于①，至少有1个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件；对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件．所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组．故选A. 3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】　B 【解析】由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3. 4.(多选)下列说法错误的是(　　) A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B) C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 D．事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件 【答案】BCD 【解析】　对于A，对立事件是互斥事件中其中一个不发生，另一个必然发生的事件，故A正确；对于B，只有互斥事件才满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都满足，故B错误；对于C，若A，B，C三事件两两互斥，不一定(A＋B)是C的对立事件，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，故C错误；对于D，对立事件的概率之和为1，但概率之和为1的两个事件不一定是对立事件，故D错误．故选BCD. 5.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作