安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023-2024学年度高二上学期期中考试 数学试卷 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3 3. “”是“直线：与：平行”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角的终边过点.则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，且与夹角为，则（ ） A. 12 B. 16 C. D. 6. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 11 7. 已知空间直线、和平面满足：，，.若点，且点到直线、的距离相等，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 8. 在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（ ） A B. C. 和 D. 和 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C是圆 B. 若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C. 若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线 D. 曲线C可以是抛物线 10. 已知为数列前项和，则下列结论成立的有（ ） A. 若数列为等比数列，且，则数列为等差数列 B. 若数列为等差数列，若，则 C. 若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为2 D. 若数列满足，且，则该数列的前100项和 11. 已知双曲线，若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ） A. 双曲线C的实轴长为6 B. 双曲线C离心率 C. 点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为、，则 D. 直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则 12. 已知正方体的棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（ ） A. 正方体的内切球直径为4 B. 正方体的外接球直径为 C. 若正四面体可以放入正方体内自由旋转，则a的最大值是 D. 若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 与椭圆有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为___________. 14. 已知事件与事件互斥，如果，，那么__________. 15. 小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象台预报准确的总天数为________. 16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，且，若P是两条曲线的一个交点，则__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知锐角的内角的对边分别为，且满足 （1）求； （2）若面积为，求的周长． 18. 已知顶点，，线段AB的垂直平分线的方程为． （1）求直线BC的方程； （2）若的外接圆为圆M，过点作圆M的切线，求切线方程． 19. 设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和. 20. 某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若成等差数列，且成绩在区间内的人数为120． （1）求a，b，c的值； （2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A，B，其中3人帮助A，余下的2人帮助B，求甲、乙都帮助A的概率． 21. 如图，在三棱锥中，，，为棱的中点 （1）证明：平面⊥平面； （2）若点在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小 22. 如图已知抛物线C的方程为，焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点P，已知，，， （1）求p的值； （2）斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，