5.2 函数的表示方法（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

5.2 函数的表示方法 一、函数的三种表示方法及其优缺点 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 二、分段函数 1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． （2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 三、函数解析式的四种求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 题型一 函数的三种表示方法 【例1】（2023·吉林·高一长春市第二实验中学校考期中）（多选）已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（ ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2023上·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（ ） 1 2 3 4 3 -1 A．-1 B．0 C．3 D．4 【变式1-2】（2023上·北京丰台·高一统考期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023上·山西·高一统考期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（ ） A． B． C． D． 题型二 已知函数类型求解析式 【例2】（2023上·浙江·高一校联考期中）（多选）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）已知二次函数，满足，.则 . 【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）根据下列条件，求的解析式.已知是二次函数，且满足 【变式2-3】（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 题型三 配凑/换元法求解析式 【例3】（2023·江苏·高一扬州中学校考期中）已知，则 ． 【变式3-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023上·湖南衡阳·高一校考期中）函数满足若，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·安徽·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（ ） A．， B．， C．， D．， 题型四 方程组法求解析式 【例4】（2023·江苏徐州·高一统考期中）已知函数对任意实数都有，则 . 【变式4-1】（2023·江西宜春·高一铜鼓中学校考阶段练习）已知函数满足，且，则 . 【变式4-2】（2023·安徽阜阳·高一临泉第一中学校联考期中）已知函数满足，则函数的解析式为