第7章 锐角三角函数（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第七章 锐角三角函数（知识归纳+题型突破） 一、锐角三角函数的基本概念 在Rt△ABC中，∠C为直角，则锐角∠A的三角函数为（∠A可换成∠B）： 定义 表达式 正弦 余弦 正切 二、特殊角的三角函数值 1、特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° 1 2、锐角三角函数的有界性与增减性： （1）有界性：锐角三角函数值都为正值，即当0°＜α＜90°时，有0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞0； （2）增减性：锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小． 3、同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系： （1）sin2α＋cos2α＝1；（2） 4、互为余角的两个锐角的正弦、余弦和正切的关系： （1）sinα＝cos(90°－α)；（2）cosα＝sin(90°－α)；（3） 三、解直角三角形 1、直角三角形的性质（C为直角顶点）： ①边与边的关系：；②角与角的关系：∠A+∠B=90°；③边与角的关系：；；． 2、解直角三角形的四大类型： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a、b ，， 一直角边a，斜边c ，， 一边一锐角 一直角边a，锐角A ，， 斜边c，锐角A ，， 题型一 求正切值 【例1】在中，，，，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【例2】如图，在边长为的方格纸中，与交于点，其中、均为所在正方形小方格一边的中点，则(   )    A． B． C． D． 巩固训练 1．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 题型二 正切概念辨析 【例3】在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 巩固训练 3．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 4．如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 题型三 已知正切求值 【例4】如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（    ） A．米 B．米 C．米 D． 米 【例5】在中，，，将绕点B旋转后，点C落在射线上，点A落到点处，联结．那么 ． 【例6】如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求DE的长． 巩固训练 5．如图，已知，，，，的长为（    ） A． B． C． D． 6．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC= m 7．如图，在四边形ABCD中，，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若tan∠OAB=，BD=2，求CE的长． 题型四 正弦、余弦概念辨析 【例7】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【例8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【例9】如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 巩固训练 8．已知：α是锐角，tanα＝，则sinα＝ ，cosα＝ ． 9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 题型五 求角的正弦余弦值 【例10】如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 ． 【例11】在中，、、对边分别为、、，，若，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 10．已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑