2024年中考数学一轮复习课件：直角三角形中的分类讨论

第一轮　中考考点系统复习(讲解册) 数 学 解题模型(九)　 直角三角形中的分类讨论 90°或40° 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定．若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建． 　 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分情况：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°；②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°；③以P为直角顶点，即∠APB＝90°. 作图找点： ①过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 计算求解： 1．【代数法求解】分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在． 2．【几何法求解】找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形． 特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用锐角三角函数求解． 1．如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数为 时，△AOP为直角三角形． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是BC的中点，点P是边AB上的动点．若要使△BPD为直角三角形，则 BP＝ ． 5或eq \f(16,5) 3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A(－2，0)，点B(0，4)，点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°.若△ABP为直角三角形，求点P的坐标． 解：∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°， ∴∠ABP＝90°或∠BAP＝90°. 如图，①当∠ABP＝90°时，∵∠APB＝∠BAP＝45°， ∴AB＝PB. 过点P作PC⊥OB于点C， ∴∠BPC＋∠CBP＝90°. ∵∠CBP＋∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BPC. 又∵∠AOB＝∠BCP＝90°， ∴△AOB≌△BCP(AAS)． ∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2. ∴OC＝OB－BC＝2. ∴P(4，2)； ②当∠BAP′＝90°时， 过点P′作P′D⊥OA于点D， 同①的方法得，△ADP′≌△BOA， ∴DP′＝OA＝2，AD＝OB＝4. ∴OD＝AD－OA＝2. ∴P′(2，－2)． 综上所述，满足条件的点P的坐标为(4，2)或(2，－2)． 4．如图，抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．在x轴上找一点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标． 解：∵点D在x轴上， ∴在Rt△ACD中，∠CAD不可能为直角． ①当∠ADC＝90°时，点D与点O重合， ∴D(0，0)． ②当∠ACD′＝90°时， ∴∠D′CO＋∠ACO＝90°. ∵∠ACO＋∠OAC＝90°， ∴△D′CO＝∠OAC. 又∵∠D′OC＝∠COA＝90°， ∴△D′CO∽△CAO. ∴eq \f(OC,OA)＝eq \f(D′O,CO)， 即eq \f(3,1)＝eq \f(D′O,3). ∴D′O＝9. ∴D′(－9，0)． 综上所述，点D的坐标为(0，0)或(－9，0)． $$