2024年中考数学一轮复习课件：对角互补模型

第一轮　中考考点系统复习 数 学 解题模型(十七)　 对角互补模型 DE＋DF＝AD 模型1　含90°角的对角互补模型 　 基本模型演示： 如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，则有以下结论： ①CD＝CE； ②OD＋OE＝eq \r(2)OC； ③S△OCD＋S△OCE＝eq \f(1,2)OC2. 基本模型变式： 如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论： ①CD＝CE； ②OE－OD＝eq \r(2)OC； ③S△OCE－S△OCD＝eq \f(1,2)OC2. 1．如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转．求证：无论正方形OMNP旋转到哪个位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值． 解：①当OP∥AD时，S重叠＝eq \f(1,4)S正方形ABCD＝25； ②当OP过点C时，S重叠＝S△OBC＝eq \f(1,2)×5×10＝25； ③设OP交CD于点G，OM交BC于点H，过点O分别作CD，BC的垂线，垂足分别为E，F， 则∠OEG＝∠OFH＝90°. ∵∠MOP＝∠FOE＝90°， ∴∠EOG＝∠FOH. 又∵OE＝OF， ∴△OEG≌△OFH(ASA)． ∴S四边形OHCG＝S正方形OECF＝eq \f(1,4)S正方形ABCD＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25. 2．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN. (1)求证：OM＝ON. (2)若正方形ABCD的边长为4， E为OM的中点，求MN的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°. ∴∠OAM＝∠OBN＝135°. ∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON. ∴△OAM≌△OBN(ASA)． ∴OM＝ON. (2)过点O作OH⊥AD于点H. ∵正方形的边长为4， ∴OH＝HA＝2. ∵E为OM的中点，AE∥OH， ∴HM＝2AH＝4. ∴OM＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5). ∴MN＝eq \r(2)OM＝2eq \r(10). 模型2　含120°角的对角互补模型 　 基本模型演示： 如图，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，则有以下结论： ①CD＝CE； ②OD＋OE＝OC； ③S△OCD＋S△OCE＝eq \f(\r(3),4)OC2. 3．如图1，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C，D不重合)． (1)如图1，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ． (2)如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，(1)中的结论变为 ，请给出证明． (3)在(2)的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，当点E落在线段AD的延长线上时，探究DE，DF，AD之间的数量关系(直接写出结论，不用加以证明)． DE＋DF＝eq \f(1,2)AD 解：(2)证明：取AD的中点M，连接PM. ∵四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°， ∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°. ∴△MDP是等边三角形． ∴PM＝PD，∠MPD＝∠PME＝∠PDF＝60°. ∵∠QPN＝∠MPD＝60°， ∴∠MPE＝∠DPF. 在△MPE和△DPF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PME＝∠PDF，,PM＝PD，,∠MPE＝∠DPF，)) ∴△MPE≌△DPF(ASA)． ∴ME＝DF. ∴DE＋DF＝DM＝eq \f(1,2)AD. (3)如图，当点E落在AD的延长线上时，DF－DE＝eq \f(1,2)AD. 模型3　含2α和180°－α的对角互补模型 　 基本模型展示： 如图，已知∠AOB＝2α，∠DCE＝180°－2α，OC平分∠AOB.则有以下结论：①CD＝CE；②OD＋OE＝2OC·cos α；③S△COD＋S△COE＝OC2·sin α·cos α. 4．已知点P是∠MON平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°. (1)利用图1，求证：PA＝PB. (2)如图2，若