2024年中考数学一轮复习课件：共顶点的旋转模型——手拉手模型

第一轮　中考考点系统复习 数 学 解题模型(十一)　 共顶点的旋转模型——手拉手模型 4 √ √ √ √ × √ √ √ 相似 模型1　顶角相等的两个等腰三角形共顶点手拉手→产生的三角形全等 　 顶角相等，且共顶点的两个等腰三角形，无论两个三角形的形状如何，经旋转后得到的两个三角形都可根据“边角边”之间的关系进行推理判断． 基本图形演示： 特殊常考图形： 1．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2.若BC＝4，则DE＝ ． 2．(2020·通辽)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是 ． PB2＋PA2＝2PC2 3．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接DE，现将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度(如图2)，连接BD，CE. (1)求证：△ABD≌△ACE. (2)延长BD交CE于点F， 若AD⊥BD，BD＝6，CF＝4， 求线段DF的长． 解：(1)证明：∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． (2)连接AF. ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°. ∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE＝6，∠AEC＝∠ADB＝90°. ∴EF＝CE－CF＝2. ∵AF＝AF，AD＝AE， ∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL)． ∴DF＝EF＝2. 4．已知：如图，在△ABC的边BC的同侧，以AB，AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，相交于点M. (1)求证：BE＝CD. (2)求∠BMC的度数． 解：(1)证明：∵△ABD与△ACE是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°. ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE. 在△DAC和△BAE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AB，,∠DAC＝∠BAE，,AC＝AE，)) ∴△DAC≌△BAE(SAS)． ∴BE＝CD. (2)∵△DAC≌△BAE， ∴∠ACD＝∠AEB. ∴∠DME＝∠BEC＋∠ECM ＝∠BEC＋∠ECA＋∠ACD ＝∠BEC＋∠AEB＋∠ECA ＝120°. ∴∠BMC＝120°. 【变式】　如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别交CD，CE于点M，N，BD与AE相交于点P，连接CP，MN.判断下列结论正确与否，对的打“√”，错的打“×”． (1)∠APD＝60°；( ) (2)△ACM≌△DCN；( ) (3)CM＝CN；( ) (4)△CMN是等边三角形；( ) (5)ME＝BE；( ) (6)CP平分∠APB；( ) (7)MN∥AB；( ) (8)△ACE≌△DCB.( ) 模型2　两个相似的非等腰三角形的一对应角的顶点手拉手→产生的三角形相似 　 两个相似的非等腰三角形对应顶点重合，经旋转后可以产生新的相似三角形． 基本图形演示： 特殊常考图形： 5．(1)观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，AB＝5，AD＝3，AE＝4.填空： ①△ABC与△ADE是否相似？ ． ②AC＝ ，DE＝ ． eq \f(20,3) eq \r(7) (2)拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明． (3)迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B，D，E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长． 解：(2)△ADB∽△AEC. 证明：由旋转变换的性质可知，∠BAD＝∠CAE， 由(1)得，eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，即eq \f(AD,AE)＝eq \f(AB,AC)， ∴△ADB∽△AEC. (3)如图2，在Rt△ADB中，BD＝eq \r(AB2－AD2)＝4， ∵点B，D，E在同一条直线上， ∴BE＝BD＋DE＝4＋eq \r(7). 如图3，BE＝BD－DE＝4－eq \r(7). 综上所述，将△ADE绕顶点A旋转到点 B，D，E在同一条直线上时，线段BE的长为4＋eq \r(7)或4－eq \r(7). 图3 $$