专题5.3 一元一次方程的应用（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.3 一元一次方程的应用 【典例1】篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共个手环． （1）要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？ （2）为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）． ①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？ ②姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？ 【思路点拨】 （1）先设出应额外给1班个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的列出一元一次方程即可． 【解题过程】 （1）解：设应额外给1班个手环，则额外给2班个手环， ∵要使1班、2班的手环数一样多， ∴， 解得：， 所以应额外给1班8个手环； （2）解：①设购进个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多， 对于甲批发商处进货价为：元， 对于乙批发商处进货价为：元， ∵去两个批发商处的进货价一样多， ∴， 解得：， 所以购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多； ②设第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的， 由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商， 第一次进购个，所以第一次进价为：元， ∵第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个， ∴第二次进购了个， 第二次进价为：元， ∵两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的， ∴， 解得：， 所以第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的． 1．（2023上·湖南衡阳·七年级校考开学考试）甲、乙同时从A地出发，背向而行，分别前往B、C两地。已知甲、乙两人每小时共行驶96千米．甲、乙的速度比是，两人恰好分别同时到达B、C两地，乙立即用原速度返回，当乙行了40分钟后，甲在B地得到通知，要求立即返回并且要与乙同时到达A地。甲返回时把原速度提高了，这样两人同时到达A地，问：B、C之间的距离是多少千米？ 2．（2022上·河南开封·七年级开封市第二十七中学校考开学考试）甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，甲车速度为千米时，乙车速度为千米时，它们分别到达地和地后马上返回，返回时甲车速度提高，乙车速度减少，它们第一次相遇地点与第二次相遇地点相距千米．那么、之间的距离是多少千米？． 3．（2023上·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是，人步行的速度是（上、下车时间忽略不计）． （1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场； （2）现在带队的老师和一位参赛同学分别设计一种运送方案： 老师方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场． 学生方案：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到某处，然后这4个人步行前往考场，小汽车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场． 他们的各自的方案合理吗？请通过计算说明． 4．（2022上·江苏泰州·七年级姜堰区实验初中校考阶段练习）一科技小组进行机器人行走性能测试，已知是周长为360米的圆形跑道的直径，机器人A从M点出发，机器人B从N点出发，机器人A运动速度为每分钟a米，机器人B运动速度为每分钟b米，设行走的时间为t分钟． （1）若 ①若A顺时针转动，B逆时针转动，如图1，当t为多少分钟时，A与B第一次相遇； ②若同时顺时针运动，如图2，当机器人B第一次回到点N时，A与B相遇了 次； （2）若，同时顺时针运动． ①当分钟时，A与B第一次相遇． 那么t为何值时，A、B两个机器人在圆形跑道上首次相距60米？ ②若，试判断A与B第二次相遇位置，并说明理由． 5．（2022上·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考阶段