专题5.2 一元一次方程与动点问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.2 一元一次方程与动点问题 【典例1】已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．P点运动时间为t．    （1）直接写出______，______； （2）若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由； （3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．当点P从点A开始运动后的时间______秒时，P，Q两点之间的距离为2． 【思路点拨】 （1）根据绝对值和偶次方的非负性即可作答； （2）利用中点的定义和线段的和差求出，即可得出结论； （3）先根据条件得出Q的运动情况为：先是由A运动到C点，再由C点运动到A点，在由A点继续出发运动1s，即Q点在A与C之间运动了一个来回，可将P，Q两点距离为2的情况分为以下2种情况讨论，设点P从点B运动s后，P，Q两点距离为2，，即点P表示的数为：，，①当点Q由A运动到C点时，此时点Q表示的数为：，根据，可得方程，解方程即可；当点Q由C运动到A点时，此时点Q表示的数为：，根据，可得方程，解方程即可，则问题得解． 【解题过程】 （1）解： ， ，， ，， 故答案为：，9； （2）解：不发生变化，理由如下： 设点P表示的数为， M为的中点，N为的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 即在P点运动的过程中，线段的长度不发生变化，恒为； （3）解：运动特点为：点P运动到点B时，点Q再从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动， ，，， 点P从点B运动至点C的时间为：，点P从点A运动至点B的时间为：，点Q从点A运动至点C的时间为：， 即可知点Q的运动情况为：先是由A运动到C点，再由C点运动到A点，在由A点继续出发运动1s，即Q点在A与C之间运动了一个来回， 可将P，Q两点距离为2的情况分为以下2种情况讨论： 设点P从点B运动s后，P，Q两点距离为2， ，即点P表示的数为：，， ①当点Q由A运动到C点时， 此时点Q表示的数为：， ， ，即， 解得：，或， 点P运动的时间为：，即或者秒时，P，Q两点之间的距离为2； ②当点Q由C运动到A点时，此时点Q表示的数为：， ， ，即， 解得：，或， 点P运动的时间为：，即或者秒时，P，Q两点之间的距离为2； 综上，当点P从点A开始运动后的时间8，10，14.5，15.5秒，P，Q两点之间的距离为2． 故答案为：8，10，14.5，15.5． 1．（2023春·安徽合肥·七年级中国科技大学附属中学校考开学考试）已知数轴上两点、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．    （1）若点为的中点，直接写出点对应的数； （2）数轴的原点右侧是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由； （3）现在点、点分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点与点之间的距离为3个单位长度时，求点所对应的数是多少？ 2．（2023秋·陕西榆林·七年级校考阶段练习）已知数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点移动，设移动时间为秒．    （1）当时，点到点的距离 ，此时点所表示的数为 ； （2）当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后也停止运动，求点出发秒时与点之间的距离； （3）在（2）的条件下，当点和点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位长度？ 3．（2023春·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上有一点，在的左边距点个单位长度处有一点，原点为． （1）点表示的数为______，线段的中点对应的数为______； （2）点、同时出发，点以个单位长度秒的速度向右运动、点以个单位长度秒的速度向左运动，当运动多少秒时，、两点能相遇； （3）现有动点、和一定点，点在数轴上所表示的数为，、分别从点、同时出发，分别以个单位长度秒、个单位长度秒的速度先向点运动，到达点后再向其相反方向运动，在运动过程中，当时，求时间． 4．（2023秋·四川成都·七年级四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、10，满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达