2022年安徽省九年级中考数学一轮复习讲义第4讲：一次函数图象与性质（难）

授课主题 一次函数图象与性质（难） 教学目标 1.了解函数的概念以及三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），掌握分段函数的性质何应用； 2．理解正比例函数和一次函数的概念，并准确画它们的图象，结合图象讨论函数的基本性质，并能利用图象数形结合分析函数和解决实际问题. 教学重难点 重点： 一次函数的图象和性质 难点： 由一次函数的图象归纳出一次函数的性质及对性质的理解和应用。 教学内容 一次函数图象与性质 【知识梳理】 一、正比例函数的概念、图象和性质 1、正比例函数的概念：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．正比例函数中自变量的取值范围是全体实数． 2、正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx． 图象如图： 3、正比例函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大． 当k＜0时，y随x的增大而减小． 备注：(1)正比例函数y＝kx，也可以说成y与x成正比例．要求函数关系式只需通过x，y的一组对应值求出k，从而确定关系式． (2)正比例函数的图象是过原点的直线． 当k＞0时，直线从左到右呈上升趋势，经过第三、一象限； 当k＜0时，直线从左到右呈下降趋势，经过第二、四象限． 画正比例函数的图象时．只需选取除原点外的一点，过原点和选取点画直线即可，选取的点一般为点(1，k)． (3)正比例函数的性质也可以逆用． 如当正比例函数y＝kx(k≠0)中y随x的增大而增大时，则k＞0，反之k＜0； 再比如，正比例函数的图象过第一、三象限，则k＞0等． 二、一次函数的概念、图象和性质 1.一次函数的概念：一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 备注：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 2.一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，）的一条直线；一次函数图象可由正比例函数图象平移得到； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 一次函数图象和性质如下： 备注：(1)一次函数的关系式是关于自变量的一次关系式，要确定一次函数关系式，只需确定k，b． (2)一次函数的图象是一条直线，要画出图象只需确定图象上的两点，这两点一般选与x轴、y轴的交点，(0，b)，过这两点画直线即可． (3)直线y＝kx+b也可以看做是把直线y＝kx向上(b＞0)或向下(b＜0时)平移个单位得到的． 3. k、b对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 备注：（1）由k，b的符号可以确定直线y＝kx＋b的位置．反过来，由直线y＝kx＋b的位置也可以确定k，b的符号．这种数形结合的思想方法，是我们解决图象问题的重要方法．由k，b的符号也可以不通过画图象，直接判定直线的位置，k的符号决定直线的倾斜方向，b的符号决定直线与y轴交点的位置． (2)的大小决定直线的倾斜程度， 即越大，直线与x轴相交成的锐角度数越大； 越小，直线与x轴相交成的锐角度数越小． b决定直线与y轴交点的位置， b＞0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴上； b＜0时，直线与y轴的交点在y轴的负半轴上． 4. 两条直线位置关系的确定： 两条直线：：和：的关系： （1）与相交； （2），且与平行； 备注：（1）直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的位置关系： 当k1＝k2，b1＝b2时，两直线重合． 当k1＝k2，b1≠b2时，两直线平行． 当k1≠k2，b1＝b2时，两直线相交于y轴上的一点(0，b1)． 当k1≠k2，b1≠b2时．两直线相交． 【典型例题】 考点一 正比例函数的定义 【例】（2021·河北唐山市·）下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是（ ） A．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系 B．圆的面积与它的半径之间的关系 C．某水池有水，现打开进水管进水，进水速度，后水池有水 D．有一个边长为x的正方体，则它的表面积S与边长x之间的函数关系 【变式】（2021·广东茂名市·八年级期末）已知一次函数是正比例函数，且经过一次函数和的交点，则__________． 考点二 正比例函数图象和性质 【例】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·）如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间