专题10 解三角形的实际应用-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题10 解三角形的实际应用 类型一、仰角、俯角问题 例．为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．      (1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求； (2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点处，求作业本移动的距离．（结果精确到）（参考数据：，，．） 【变式训练1】．（1）如图：为测量河宽（假设河的两岸平行），在点处测得，在点处测得，且，则河宽为多少（结果保留根号）． （2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高米，则旗杆顶点离地面的高度为多少米（结果保留根号）． 【变式训练2】．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，，A，在同一水平线上．    (1)求小明从点A到点的过程中，他上升的高度． (2)大树的高度约为多少米参考数据：，， 【变式训练3】．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，也是全国古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年间，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，也是中国唯一的一座十二边形塔．某数学小组测量嵩岳寺塔的高度，如图，在台阶底端A处用测角仪测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为，在台阶顶端B处用测角仪又测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为．已知测角仪的高度为，平台的高度为，台阶的坡度，图中所有点均在同一竖直平面内，点A，H与点C在同一水平线上，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，）    【变式训练4】．小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点处，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点的仰角为，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点的仰角为．按照安全规定：此时塔吊的底部点距建筑物的底部点是．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，）    类型二、方位角问题 例．如图一艘轮船位于灯塔的正西方向的处，且灯塔到处的距离为20海里，轮船沿东北方向匀速航行，速度为10海里/时．    (1)多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔的西北方向上的处？（结果保留根号） (2)轮船不改变航行行驶到达位于灯塔的北偏东15°方向上的处，求灯塔到处的距离。（结果保留根号） 【变式训练1】．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道，经测量，点C在点A的正东方向，米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，米，点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．    (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，） 【变式训练2】．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．    (1)求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）； (2)渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时25海里的速度前往C处，请问补给船能否在100分钟之内到达C处？（参考数据：） 【变式训练3】．在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里 (1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）； (2)求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【变式训练4】．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西方向，且B、C两地相距120海