广东省汕头市金山中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

2022级高二第一学期期中考试数学试卷 命题人：周荃 审题人：袁明星 一、选择题(每题5分，共60分） 1．已知，若，则（    ） A．4 B．6 C．5 D．3 2．倾斜角为120°的直线经过点和，则a =（      ） A．0 B．2 C． D． 3．已知条件p：，条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．直线和，若，则与之间的距离 A． B． C． D． 5．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知线段AB的端点B的坐标是，端点在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知在正方体的棱长为2，点E，F分别是直线与上的点，则线段EF长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 （下面是多选题，每小题漏选2分，错选0分） 9．下列说法错误的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆的半径为2 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长最长为 11．点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（    ） A．满足的点M的轨迹长度为 B．点M存在无数个位置满足直线平面 C．在线段上存在点M，使异面直线与CD所成的角是30° D．若E是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为 12．已知椭圆C：的上下焦点分别为，，且焦距为2c，离心率为e.直线l：与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（    ） A．若AB的最小值为3c，则 B．的周长为4a C．若，则e的取值范围为 D．若AB的中点为M，则 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．过圆上的点的切线方程为 . 14．已知点和点，是直线上的一点，则的最小值是 . 15．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点，而且点在直线上，则的最小值是 . 16．已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则实数的取值范围是 . 三、解答题（共70分） 17．（10分）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为，求直线的方程． 18．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，求中BC边中线AD长． 19．（12分）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 20．（12分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少； (2)从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率； (3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由. 21．（12分）已知圆心在轴上的圆与直线切于点. (1)求圆的标准方程； (2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值． 22．（12分）如图，设直线：，：.点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数）. （1）求实数的取值范围； （2）设，求面积的最小值； （3）是否存在实数，使得的值与无关?若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 2．A 3．A 4．B 5．D 6．D， 7．C 【详解】曲线是以为圆心，为半径的半圆，如图所示 直线是过定点的直线． 设切线的斜率为，切线的方程为，圆心到直线的距离等于半径，