2024年中考数学第一轮复习学案：二次函数

( 6 ) ( 中考第一轮复习 二次函数 ) ( 中考大纲剖析 ) 考试内容 考试要求层次 A B C 二次函数 能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其它知识结合的有关问题 ( 本讲结构 ) ( 知识导航 ) 1. 的作用： ①决定开口方向及开口大小.,开口向上；，开口向下；越小开口越大；越 大开口越小；相等, 开口大小相同. ②共同决定对称轴的位置：对称轴在轴左侧，则同号；对称轴在轴右侧，则 异号，简称“左同右异” ③ 决定与轴交点. 2. 二次函数解析式的三种表示形式： ① 一般式：； ② 顶点式：或； ③ 交点式：，其中是方程的两实根． 3. ① 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ② 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 4. 二次函数与一元二次方程的联系： ① 当时，抛物线与轴有2个交点，并且关于对称，两交点之间的距离为； ② 当时，抛物线与轴有1个交点，即为抛物线的顶点； ③ 当时，抛物线与轴没有交点． 5. 抛物线平移的规律：按照八字原则“左加右减，上加下减”进行．或化成顶点式平移顶点. 6. 抛物线关于轴对称的抛物线解析式为；关于轴对称的抛物线解析式为；关于原点对称的抛物线解析式为；关于顶点对称的抛物线解析式为. 7. 抛物线常见基本型的性质： 开口方向 对称轴 最值 顶点坐标 单调性 ①时开口向上; ②时开口向下. 轴（即直 线） 时 时 ①当时，对称轴左侧，随的增大而减小；对称轴右侧，随的增大而增大. ②当时，对称轴左侧，随的增大而增大；对称轴右侧，随的增大而减小. 轴（即直 线） 时 时 直线 时 时 直线 时 时 或 直线 或直线 时 时 或 或 直线 或直线 时 或 时 或 或 【编写思路】 本讲同样不设模块，按板块划分；第一个板块：夯实基础主要用来帮助串起二次函数的图像和性质等基础知识（例1） 第二个板块：能力提升主要复习二次函数的基本应用；如图像变换（例2），最值问题（例3），简单的代几综合：将军饮马（例4）； 第三个板块：探索创新用来回顾二次函数同一元二次方程的结合，这是本讲次的重难点所在，这是北京中考23题常考类型，常见题型主要有三种类型：一是同方程、代数式变形结合（例5）；二是根的分布问题（例6）；三是数形结合（例7），数形结合常见类型如下： Ⅰ、a＞0； ①、不等式ax2 + bx + c 恒大于0； Ⅱ、b2 - 4ac＜0； 1、二次函数y = ax2 + bx + c 与x轴无交点 Ⅰ、a＜0； ②、不等式ax2 + bx + c 恒小于0； Ⅱ、b2 - 4ac＜0 f (m) = am2 + bm + c ＜ 0； 2、二次函数y = ax2 + bx + c有根 m ＜ x1 ＜ n ( a ＞ 0， ) f (n) = an2 + bn + c ＞ 0。 3、二次函数y = ax2 + bx + c与反比例函数 am2 + bm + c ＜ ； 满足m ＜x1＜n ( a＞0， ，k＞0) an2 + bn + c ＞ 。 Ⅰ、转化为(a - m)x2 + (b - n)x + (c - p) ≤ 0恒成立； 4、二次函数y1 = ax2 + bx + c 恒小于y2 = mx2 + nx + p Ⅱ、a - m ＜ 0，(b - n)2 - 4(a - m) (c - p) ＜ 0。 二次函数的基础知识点：解析式的确定、顶点坐标公式等在大题中均有渗透，故不在夯实基础中单独复习；二次函数的难点问题：点的存在性问题，因为综合性太强、春季会重点讲解、近年北京中考考核较少等原因，所以本讲次中不予讲解。 ( 夯实基础 ) 【例1】 ⑴ 二次函数的图象如右图所示，则反比例函数 与一次函数在同一坐标系中的大致图象是 （ ）. ⑵ 根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断二次函 数的图象与轴（ ） … … … … A.只有一个交点 B.有两个交点，且它们分别在轴两侧 C.有两个交点，且它们均在轴同侧 D.无交点