专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.半角模型（相似模型） 【常见模型及结论】 1）半角模型（正方形中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）； 图1 图2 结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN. 2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型） （1）含45°半角模型 图1 图2 条件：如图1，已知∠BAC＝90°，； 结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （） （2）含60°半角模型 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （） 例1．（2023·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④；⑤图中只有4对相似三角形，其中正确结论的序号是 ．      例2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别为，边上的点．若，，则的长为 ．    例3．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知中，，，点、在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长． 例4．（2023·江苏无锡·九年级期中）如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为 ． 例5．（2023秋·江苏泰州·九年级校考期末）（1）如图1，、为等边中边所在直线上两点，，求证：；（2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形； （3）在（1）的条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值．（用含有的代数式表示） 例6．（2023江苏九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长； （2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ． 例7．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在矩形中， ，（），点E、F分别是边、上的点，过点F作，交直线于点G．    (1)如图1：若，，，，则________，________； (2)如图2：若，，过点F作，交于点G，过E作，交于点H，求证：；(3)如图3：若，，过点F作，交于点G，，直接写出的值________． 课后专项训练 1．（2023·广东深圳·九年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2022秋·湖南怀化·九年级校考期中）如图，等腰直角三角形，，、是上的两点，且，过、作、分别垂直、，垂足为、，交于点，连接、．其中①四边形是正方形；②；③当时， ；④当时，．正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023春·贵州遵义·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△ADE≌△AFE．②△ABE∽△ACD．③BE＋DC＝DE．④BE2＋DC2＝DE2．其中一定正确的是（      ） A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 4．（2023·广东汕头·校考三模）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论；①②③④；中正确的