6.4探索三角形相似的条件（5课时）同步练习2025-2026学年苏科版（2012）九年级数学下册

6.4探索三角形相似的条件 第1 课时 平行线分线段成比例及平行线截三角形相似 一、选择题(每题6分，共30分) 1. 如图,AB∥CD∥EF,则下列结论正确的是 ( ) 2.如图所示的五线谱是由等间距、等长的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C 都在横线上.若线段AB=5，则线段 BC 的长是 ( ) A. B. 1 C. D. 3 3. 如图,,l₁∥l₂∥l₃,l₄与l₁、l₂、l₃分别交于A、B、C 三点,l₅与l₁、l₂、l₃分别交于D、E、F 三点.若AB=1,BC=2,AD=DE= 则图中长度为3 的线段是 ( ) A. EF B. DF C. BE D. FC 4.如图所示为某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，直尺一边上的刻度线表示的数“1”与数轴上原点重合.若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是 ( ) A. B. 2 C. D. 5 5. ★★如图,在△ABC中,点D 在边AC上,AD:DC=1:2,O是BD的中点,连接AO并延长交 BC 于点E,则BE : EC为 ( ) A. 1: 2 B. 1:3 C. 1:4 D. 2:3 二、填空题(每题6分，共24分) 6. 如图,l₁∥l₂∥l₃,直线AC 分别交l₁、l₂、l₃于点 A、B、C,直线DF 分别交l₁、l₂、l₃于点 D、E、F.若AB=3,BC=5,则 的值为 . 7. 如图,点D、E、F 分别位于△ABC的三条边上,且满足DE∥BC,EF∥AB.若AD:DB=3:2,则BF:FC= . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 8.如图所示为一架梯子的示意图，其中 ,且AB=BC=CD.为使其更稳固,在点A、D₁间加绑一条安全绳(线段AD₁),且AE=0.4m,则 9. ★如图,在△ABC中,BE 平分∠ABC,DE∥BC.若DE=2AD,AE=2,则EC= . 三、解答题(共46分) 10.(16分)如图,点A、B、C 分别在线段OD、OE、OF 上,且AB∥DE,BC∥EF. (1)直接写出图中所有的相似三角形； (2)若OA=6cm,OC 比AD 长2cm,AD 比CF 长0.5cm,求AD 的长. 11.★(14分)如图,在△ABC 中,点D、E 分别在边AB、AC上,DE∥BC,EF∥DC,EF 交边AB 于点F.求证: 12. ★★(16分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6.点 P 从点A 出发,沿折线AB→BC 向终点C 运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC 上以每秒3个单位长度的速度运动.点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒 个单位长度的速度运动. P、Q 两点同时出发，当点 P 停止运动时，点Q 也随之停止运动.设点P 运动的时间为t秒，当PQ 与△ABC 的一边平行时,求 t 的值. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 用两角的相等关系判定三角形相似 一、选择题(每题6分，共30分) 1.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AC 与BD 相交于点O,则下列三角形中,一定与△AOD 相似的是 ( ) A. △COB B. △AOB C. △DOC D. △ABC 2. 如图,在△ABC 中,点D、E 分别在边AB、AC上,DE∥BC,∠ACD=∠B,那么下列判断中，不正确的是 ( ) A. △ADE∽△DBC B. △CDE∽△BCD C. △ADE∽△ACD D. △ADE∽△ABC 3. 如图,点E、F 分别在矩形ABCD 的边AD、CD 上,∠BEF=90°,一定相似的三角形是( ) A. ①和② B. ③和④ C. ①和③ D. ②和③ 4.如图,在△ABC 中,高BD、CE 相交于点F,图中与△BEF 相似的三角形共有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.★有一副三角尺，其中AD=BC，顶点A 重合，将△ADE 绕其顶点A 旋转.在旋转过程中，以下4个位置中，不存在相似三角形的是 ( ) 二、填空题(每题6分，共24分) 6.(邵阳中考)如图,在△ABC中,D、E 分别是边AB、AC上的点.请添加一个条件: ,使△ADE∽△ABC. 7. 如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D,CD 平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC= . 8. 如图,点C 在∠AOB 内部,∠OCA=∠OCB,∠OCA 与∠AOB 互补.若AC=1.5,BC=2,则OC= . 9.★如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AD与BC 相交于点O，每个小正方形的边长均为1，则AO 的长为 . 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(共46分) 10.(14分)如图,在△ABC中,D为BC上一点,E为AD 上一点,∠DAC=∠B,CD=CE. (1)求证:△ACE∽△BAD; (2) 若CE=3,BD=4,AE=2,求ED 的长. 11. ★(16分)如图,在四边形ABCD 中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为AB 的中点.求证： (2)△AFD∽△CFE. 12. ★★(16分)如图,在矩形ABCD 中,AD>AB,P 是对角线AC上的一个动点(不与A、C两点重合),过点 P 作EF⊥AC 分别交射线AB、射线AD 于点E、F. (1) 如图①,求证:△AEF∽△BCA; (2)如图②,连接BP,若BP=AB,且F为AD的中点,求 的值. 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第3课时 用两边及夹角的关系判定三角形相似 一、选择题(每题6分，共30分) 1.下列各组条件中，能判定△ABC 与△DEF 相似的是 ( ) 且∠B=∠E 且∠A=∠E 且∠A=∠D 且∠A=∠E 2. 如图,点 D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 上,且 DE 不与BC 平行,能判定△ABC∽△AED 的条件是 ( ) 3.如图，下列能判定△ABC 与△ACD 相似的条件是 ( ) A. AB:BC=AC:CD B. BC:AC=CD:AD 4. 在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,则下列涂色三角形与△ABC 相似的是 ( ) 5.★如图，每个小正方形的边长均为1，则下列涂色三角形中，与△ABC 相似的是 ( ) 二、填空题(每题6分，共24分) 6. 如图,BC平分∠ABD,AB=9,BD=25.当BC= 时,△ABC∽△CBD. 7. 如图,AF与CE交于点B,AB=2,BC=3,BF=6,AC=BE=4,则EF= . 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 8. 如图,在△ABC中,D 为边BC 上一点, ,则AD:AC= . 9. ★★如图,在△ABC中,AB=8,BC=16,P 是边AB 的中点,Q 是边BC 上的一个动点.当BQ= 时,△BPQ 与△BAC 相似. 三、解答题(共46分) 10. (15分)如图,点D 在△ABC 的边AB 上,DE 交AC于点E,∠ADE=∠B,点 F 在AD上，且 B.求证:△AEF∽△ACD. 11. (15分)如图,在△ABC 中,D、M 是边AB 的三等分点,N、E 是边AC 的三等分点.连接ND 并延长与CB 的延长线相交于点 P.若DE=4，求线段PC 的长. 12. ★★(16分)(上海中考改编)如图,在△ABC中,AB=AC,点E、F 在边BC上,且AE=AF,点 Q 在线段AB 上,且 求证:CF·FQ=AF·BQ. 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第4课时 用三边关系判定三角形相似 一、选择题(每题6分，共30分) 1. 若△ABC 的三边长分别为1、 、 ，△DEF 的三边长分别为2 、2、2 ,则△ABC 与△DEF ( ) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判定是否相似 2. 已知△ABC 的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm,△DEF 的一边长为5cm.若这两个三角形相似，则△DEF 的另外两边长可能是 ( ) A. 2cm、3cm B. 4 cm、6cm C. 6cm、7cm D. 7cm、9 cm 3. 在△ABC 和△DEF 中,若AB=7,BC=6,AC=5,ED=3.5,EF=2.5,DF=3,则下列结论正确的是 ( ) A. ∠A=∠D B. ∠A=∠E C. ∠A=∠F D. ∠C=∠D 4.如图所示为分别由八个完全相同的小矩形拼成的网格，四名同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形.其中，相似的三角形是 ( ) A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ①和④ 5.★在如图所示的象棋盘(每个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，若要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，则“马”应落在 ( ) A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 二、填空题(每题6分，共24分) 6. 在△ABC中,AB:BC:CA=2: 3: 4;在△A'B'C'中,A'B'=1,C'A'=2.当B'C'= 时,△ABC∽△A'B'C'. 7. 已知△ABC 的三条边长的比为3:5:6,与其相似的△A'B'C'的最短边的长为12cm,则△A'B'C'的最长边的长为 cm. 8.如图，图中的每个点(包括△ABC 的顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一点，使它与点 D、E构成的三角形与△ABC 相似，则该点可以是 (写出所有满足条件的点). 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 9. ★★已知△ABC 的三边长分别为20cm、50cm、60cm,现在利用长为30cm和60cm的细木条各一根，做一个与△ABC 相似的三角形木架，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边，则所构成的三角形木架的三边长分别为 三、解答题(共46分) 10.(15分)如图,A、B、C、D 四个乡镇之间建有公路,若AB=14km,AD=28km,BD=21km,BC=42km,DC=31.5km,则公路AB与DC平行吗? 请说明理由. 11. (15分)如图,点O、O'分别是△ABC、△A'B'C'的外心,连接OC、 ∠A=∠A',求证:△ABC∽△A'B'C'. 12. ★★(16分)如图,在△ABC 和△A'B'C'中,D、D'分别是AB、A'B'上的点,且 当 时,求证:△ABC∽△A'B'C'. 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 第5 课时 与判定相似三角形有关的应用和三角形的重心 一、选择题(每题6分，共30分) 1. 在△ABC 和△A'B'C'中,有下列条件: ④∠C=∠C′.若从中任选两个条件组成一组,则能判定△ABC∽△A′B′C′的有 ( ) A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 2. 如图,在△ABC 中,点G 是三角形的重心,AG⊥GC,AG=3,GC=4,则BG 的长是 ( ) A. B. 5 C. D. 7 3. 如图,在△ABC 中,点D、G分别在边BC、AB上,AD与CG 相交于点H.如果DA=DB,GB=GC,AD 平分∠BAC,那么下列三角形中,不与△ABC 相似的是 ( ) A. △ABD B. △ACD C. △AGH D. △CDH 4. 如图,⊙O是△ABC 的外接圆,直径AD 与弦BC 相交于点E,连接CD.若⊙O 的半径为5,AB=AC=8,则EC 的长为 ( ) A. 4 B. 3.6 C. 4.8 D. 6.4 5. ★如图,在△ABC 中,中线AD、BE 相交于点 F,EG∥BC,交AD 于点G,则 的值是() A. B. C. D. 二、填空题(每题6分，共24分) 6. 如图,在△ABC中,D 是BC 的中点,点G 是△ABC的重心,AD=6,则AG= . 7. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点G是△ABC 的重心,CG=2,则AB 的长为 . 8. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,D 是 的中点,连接AD、BD,BD 与AC 交于点E,则图中所有与△ADE 相似的三角形是 . 9. ★★如图,在Rt△ABC中,CD 是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD= . 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(共46分) 10. (14分)(绥化中考)已知△ABC. (1)尺规作图：画出△ABC 的重心G(保留作图痕迹，不要求写作法). (2)在(1)的条件下,连接AG、BG.已知△ABG 的面积为5cm²,则△ABC 的面积是 cm². 11.(16分)(巴中中考)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,直径AC 与弦BD 交于点E,直线 PB与⊙O相切于点B,连接OB.若∠ABD=2∠PBA,求证:△OAB∽△CDE. 12.(16分)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是斜边AB 的中点,E 是边BC 上的点,AE与CD 交于点F，且 CB. (1) 求证:AE⊥CD; (2) 连接BF,若E 是BC 的中点,求证:∠EBF=∠EAB. 第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 6.4探索三角形相似的条件 第1 课时 平行线分线段成比例及平行线截三角形相似 一、1. D 2. C 3. A 4. C 5. B 二、6. 7.3:2 8. 1.2 9. 4三、10. (1) △OAB≌△ODE,△OBC≌△OEF (2) 设 AD=x cm,则(XC=(x+2) cm,CF=(x=0.5) cm. Y AB∥DE,∴ 即 解得x₁= 的长为1cm或3cm 12. 在 Rt△ABC中,∵ 由勾股定理，得 由题意，得 则 ①当点P 在AB 上时 此时0≤1≤2,则 解得t= ,②当点P 在BC上时, 此时2<t≤4,则CP= 解得t=3.综上所述，当PQ与△ABC 的一边平行时，t 的值为 或3 第2课时 用两角的相等关系判定三角形相似 一、1. A 2. A 3. B 4. C 5. D 二、6. 答案不唯一,如∠ADE=∠B 7. 8. 9,2 三、10.(1)∵CD=CE,∴∠CDE=∠CED.∵∠ADB=180°-∠CDE,∠CEA=180°-∠CED,∴∠ADB=∠CEA.在△ACE和△BAD中,∵∠ADB=∠CEA,∠EAC=∠B,∴△ACE∽△BAD ∴AD=6.∴ ED=AD-AE=6-2=4 11. (1) ∵ AC 平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.在△ADC 和△ACB 中,∵ (2) ∵∠ACB=90°,E 为AB 的中点,∴ 在 Rt△ACB 中,CE=BE=AE.∴∠EAC=∠ECA.∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA.在△AFD 和△CFE 中,∵∠AFD=∠CFE,∠DAF=∠ECF,∴△AFD∽△CFE 12.(1) ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°.∴∠BAC+∠DAC=90°,∵EF⊥AC,∴∠APE=90°.∴∠DAC+∠AFE= 90°. ∴ ∠AFE =∠BAC, 在△AEF 和△BCA 中,∵∠AFE=∠BAC,∠FAE=∠ABC=90°,∴△AEF∽△BCA(2)∵ BP=AB,∴∠BAP=∠BPA.∵ EF⊥AC,∴∠APE= ∴BE=BP,∵BP=AB,∴ AB=BP=BE= AE,设 BC 交FE于点G,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD=BC,AD∥BC,∴在△BGE 和△AFE中,∠EBG=∠EAF,∠BGE=∠AFE,∴△BGE∽ ∵F 为AD的中点, 在△AFP 和△CGP 中,∵AD∥BC,∴∠PAF=∠PCG, 第3课时 用两边及夹角的关系判定三角形相似 一、1. A 2. D 3. C 4. B 5. B 二、6. 15 7. 8 8. :3 9.2或8 三、10. ∵∠ADE=∠B,∴ DE∥BC,∴ AD∥AEAC. ∵ AD²=AF· Al 在△AEF 和△ACD 中, 11. ∵ D、M 是边AB 的三等分点,N、E 是边 AC 的三等分点, 在△ADE 和△ABC 中, ∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.∴∠ADE=∠ABC.∴ DE∥BC. ∴ DE 为△NPC 的中位线.∴ PC=2DE=2×4=8 12. ∵ AB=AC,∴∠B=∠C.∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE.∵∠AEF=∠C+∠CAE,∠AFE=∠B+∠BAF,∴∠CAE=∠ F, 在△ACE 和△AFQ 中, ∠FAQ,∴ △ACE∽△AFQ. ∴ ∠AEC =∠AQF. ∴ 180°-∠AEC=180°-∠AQF.∴∠AEF=∠FQB.∵ ∠AEF=∠AFE,∴∠FQB=∠AFE.在△CAF 和△BFQ中,∵∠C=∠B,∠AFC= 第4课时 用三边关系判定三角形相似 一、1. A 2. B 3. B 4. D 5. B 二、6. 1.5 7. 24 8. Q或G 9. 10cm、25cm、30cm或12cm、30cm、36cm 三、10. 公路AB与DC平行 理由:∵AB=14km,AD=28km, 在△ADB 和△BCD 中, BDDC,∴△ADB∽△BCD.∴∠ABD=∠BDC.∴ AB∥DC,即公路AB与DC平行. 11. 如图,连接OA、OB、O'A'、O'B'. ∵ 点 O、O'分别是△ABC、△A'B'C'的外心, 在△OAB 和△O'A'B'中, ∴∠AOB=∠A'O'B'.∵ 点O、O'分别是△ABC 和△A'B'C'的外心,. ∠A'C'B'.在△ABC 和△A'B'C'中,∵∠BAC=∠B'A'C',∠ACB=∠A'C'B',∴△ABC∽△A'B'C' 在△ADC 和△A'D'C'中,△A'D'C'.∴ ∠A =∠A'. 在△ABC 和△A'B'C'中, AB/B,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C' 第5课时 与判定相似三角形有关的应用 和三角形的重心 一、1. C 2. B 3. A 4. C 5. C 二、6. 4 7. 6 8. △BCE、△BDA 9. 三、10. (1)如图,点 G 即为所求 (2) 15 11. ∵ 直线 PB 与⊙O 相切于点 B,∴∠PBO=90°.∴∠PBA+∠ABO=90°.∵AC 为直径,∴∠ABC=90°.∴∠OBC+∠ABO=90°.∴ ∠OBC =∠PBA.∵ OB =OC,∴ ∠OBC =∠OCB=∠PBA. ∴ ∠AOB =∠OCB +∠OBC =2∠OCB =2∠PBA,∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA,∴∠AOB=∠ACD.在△OAB和△CDE 中,∵∠AOB=∠DCE,∠BAO=∠EDC,∴△OAB∽△CDE 在△ACB 和△ECA 中, ∴∠ABC=∠EAC.∵在Rt△ABC 中,D 是AB 的中点,∴CD=AD= BD. ∴ ∠ACD =∠CAD. ∵ ∠ACB =90°,∴∠CAD+∠ABC=90°.∴ ∠ACD+∠EAC=90°.∴ ∠AFC=180°-90°=90°.∴ AE⊥CD (2) ∵ AE⊥CD,∴∠EFC=90°.∴∠ACE=∠EFC=90°.在△ECF 和△EAC中,∵∠CEF=∠AEC,∠CFE=∠ACE,∴ △ECF∽△EAC.∴ECEA=EF/EC.∵E 是 BC 的中点, 在△BEF 和△AEB 中,∵∠BEF=∠AEB,BEE=EFEB,∴△BEF∽△AEB.∴∠EBF=∠EAB 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $