专题10.2 统计案例（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题10.2 统计案例 【核心素养】 1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系. 凸显数据分析及直观想象的核心素养． 2.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆). 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 凸显数据分析、直观想象、数学运算、数学应用的核心素养． 3. 考查独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用．凸显数据分析、直观想象、数学运算、数学应用的核心素养． 知识点一 变量的相关关系 1．变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)相关关系的分类：正相关和负相关． (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关． 知识点二 样本相关系数 . (2)当r>0时，成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关． (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 知识点三 一元线性回归模型 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程：方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数． （3）残差：残差：观测值减去预测值，称为残差 知识点四 独立性检验 (1)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． （2）计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验. 常考题型剖析 题型一： 相关关系的判断及计算 【典例分析】 例1-1．（2023·天津·统考高考真题）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（    ）    A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 例1-2.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 判断相关关系的两种方法： (1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． (2)决定系数法：利用决定系数判定，R2越接近1，拟合效果越好，相关性越强． 【变式训练】 变式1-1．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（　　） A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强     B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强     C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强     D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 变式1-2.（2015·湖北·高考真题（文））已知变量和满足关系，变量与正相关． 下列结论中正确的是 A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 题型二：误差分析 【典例分析】 例2-1.（2023上·云南保山·高三统考期末）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下表： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是，相关系数（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高），下列说法不正确的有（    ） A．变量与正相关且相关性较强 B． C．当时，的估计值为40.3 D．相应于点的残差为0.8 例2-2.（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）某新能源汽车生产公