专题05 圆与二次函数结合型压轴题专题-2024年中考数学压轴题专项训练（湖南专用）

专题05 圆与二次函数结合型压轴题专题 通用的解题思路： 一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。 二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r，第二步，表示出圆心到直线的距离d，第三步，比较半径r和距离d的大小：若半径r距离d，则直线与圆相交，若半径r=距离d，则直线与圆相切，若半径r距离d，则直线与圆相离。 三、记直线被圆截得的弦长为的常用方法 弦长公式： 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）． （1）求a，b，c的值； （2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交； （3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 2．如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2． （1）求抛物线L的解析式； （2）点P是抛物线L上一动点． ①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由； ②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最大时，求点P的坐标； （3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切． 3．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q． （1）求该二次函数的表达式； （2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1＝﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C． ①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由． ②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2＝﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值． 4．如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H． （1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d； （3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2． 试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 5．（广益）如图1，已知一次函数y＝﹣x+4与反比例函数相交于P，Q两点（P在Q的右侧）． （1）求P，Q的坐标并写出△OPQ的面积； （2）如图2，已知M（m，m），N（n，n），其中（0＜m＜n），若分别以M，N为圆心的圆均与x轴相切，切点分别为A，B，并且点P既在⊙M上又在⊙N上． ①求直线MN的解析式； ②求出线段MN的长度d； （3）在（2）的前提上，记四边形PMQN的面积为S1，四边形AMNB的面积为S2，已知抛物线y＝ax2+bx+c满足两个条件：①经过点P和点Q，②该抛物线截x轴得到的线段长度为，请求出抛物线二次项系数a的值． 6．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠O）经过X轴上的两点A（x1，0）、B（x2，0）和y轴上的点C（0，），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b＝a，AB＝2， （1）求抛物线的解析式； （2）设D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P，并说明理由； （3）设直线BD交⊙P于另一点E，求经过E点的⊙P的切线的解析式． 7．定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点． （1）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，﹣3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴的负半轴于点B，求过点B的圆A的切线的解析式； （2）若抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝kx+b（k≠0）相切于点（2，2），求直线的解析式； （3）若函数y＝x2+（n﹣k﹣1）x+m+k﹣2的图象与直线y＝﹣x相切，且当﹣1≤n≤2时，m的最小值为k，求k的值． 8．（麓